学習帳 TOPO-L-1：集合に別に位相空間に従う位相を 全単射の応用
全単射の応用 2つの集合X,Yとその間に全単射があるとする。片や位相空間Xで片やただの集合Yの場合、全単射が同相写像となるようにただの集合Yに位相を定めることができるのか。その構成自体は商位相の構成と同様である。ここで構成した位相は全単射を連続にする位相として最強だとして特徴づけられる。
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学習帳 MOD-L-5：真ん中一つ両端2つ 短完全列の情報保存
短完全列の情報保存 完全列はホモロジー代数での鎖複体の特殊な場合であり可換代数にてよく登場する。学び盾では何の役に立つのかわからないが、列を構成する加群の性質を互いに満たしあうような制限を持っている。そんな短完全列の情報をNoether加群の場合から始めtorsionなども成立するか調べる。
学習帳 MOD-L-4：局所化で保たれる性質 torsion module
こんにちは！ケンけんです。今回は、今自分が研究している対象を学ぶ上で必要になったtorsionに関連して局所化して保たれる加群の性質を見ていきます。 キーワード：torsion module torsion module まず定義を確認しま...
学習帳 MOD-L-3：絶対に理解する Hom関手 （その１）
Hom関手 関手と聞くと圏論を学んだ人からすれば当たり前と言えそうだが代数系のみを扱ってきて突然現れて学ぼうとするとかなり大変である。その初めに登場する関手と言えばおそらくHomとテンソルの関係からであろう。そのHomを関手と見るために学習することからこの記事は書かれた。
学習帳 RING-L-10：べき零元についてのメモ
べき零元 線形代数の行列では何回かべき乗すると零行列となるものが存在する。これを一般化したものが環のべき零元である。これは環論的には、零因子であり整域では自明でほとんど調べることがない。そのため、整域でない環で考える必要がある。また、単元との和が単元と言う強い関係を持つ。
学習帳 RING-L-9：非零因子（正則元）の性質
こんにちはケンけんです。今回は環の正則元の演算の性質で閉じる閉じないを例を挙げつつ見ていきます。 キーワード：非零因子（正則元） 正則元 一般には、非零因子（$\rm{non\; zero \; divisor}$）と呼ばれますが私は正則元...
学習帳 RING-L-8：イデアル商のメモ（その2）
イデアル商 以前取り上げた素イデアルとイデアル商の同値についての課題。これは整数環による反例によってあっさりと矛盾することが示された。準素イデアルについても同様の手法で示される。 今回は、前回の課題の反例の説明と新しく剰余環とイデアル商を取る操作の可換性について考える。
学習帳 SET-L-1：Zornの補題の系
Zornの補題 極大元の存在を考えるときに用いるZornの補題。これの議論では、極大元が存在することで話が終わってしまうがより強力な情報として半順序集合のすべての元xについてx<=aとする極大元aが取れることも実が説明される。今回はこれを考えていく。
学習帳 MOD-L-2：作用で零にならない加群 torsion-free module
torsion-free module divisibleの双対概念として登場するtorison-free。これは、正則元によるr倍写像が単射準同型であることで定義される。全射から単射になることで簡単になることと少し制限されることの差が加群の演算により見える。今回も参考文献で自明とする命題と書かれていない命題を考える。
学習帳 MOD-L-1：divisible moduleのメモ
divisible module ～倍の写像が加群準同型写像（線形写像）となることになる。この写像の全射・単射によって特徴的な加群となる。今回のdivisibleは、その写像が全射（epimorphism）であるときに呼ばれる。この性質は部分加群や剰余加群などの様々な対象でも保存される。