MOD-L-5：真ん中一つ両端2つ　短完全列の情報保存

完全列の性質から次が成り立つ.

• $\mathrm{Ker}g=\mathrm{Im}f$
• $f$は単射
• $g$は全射

$M$がNoether加群と仮定すると昇鎖条件を満たす.

任意の$N$の昇鎖$\{N_{i}\}$を$M$に引き戻すと$\{g^{-1}(N_{i})\}$は停留的となる.

よって, ある$N’$が存在し$l \geq N’ \Rightarrow g^{-1}(N_{l})=g^{-1}(N_{l+1})$である.

$g$が全射より$g(g^{-1}(N_{i}))=N_{i}$なので,$l \geq N’ \Rightarrow N_{l}=N_{l+1}$となり$\{N_{i}\}$も停留的である.

任意の$L$の昇鎖$\{L_{i}\}$を$M$に移すと停留的な昇鎖$\{f(L_{i})\}$が得られる.

よって, ある$N’$が存在し$l \geq N’ \Rightarrow f(L_{l})=f(L_{l+1})$である.

$f$が単射より$f^{-1}(f(L_{i}))=L_{i}$なので, $l \geq N’ \Rightarrow L_{l}=L_{l+1}$となり$\{L_{i}\}$も停留的である.

以上より, $L,N$はNoether加群である.

逆に$L,N$をNoether加群とする.

このとき, 任意の$M$の昇鎖$\{M_{i}\}$から$L$での停留的な昇鎖$\{f^{-1}(M_{i})\}$,

$N$へ移すとNでの停留的な昇鎖$\{g(M_{i})\}$が得られる.

停留的であることから次のようなある$m,n \in \mathbb{N}$が存在する.

• $l \geq m \Rightarrow f^{-1}(M_{l})=f^{-1}(M_{l+1})$
• $l \geq n \Rightarrow g(M_{l})=g(M_{l+1})$

$N’=\max\{m,n\}, l \geq N’$のとき, $f^{-1}(M_{l})=f^{-1}(M_{l+1}),g(M_{l})=g(M_{l+1})$である.

今, $x \in M_{l+1}$を取ると, $g(x) \in g(M_{l+1})=g(M_{l})$である.

従って, ある$m \in M_{l}$によって$g(x)=g(m)$となり$x-m \in \mathrm{Ker}g=\mathrm{Im}f$である.

よって, ある$k \in L$で$x-m =f(k)$と表され, $x-m \in M_{l+1}$から$k \in f^{-1}(M_{l+1})=f^{-1}(M_{l})$である.

従って, $x-m=f(k)=n \in M_{l}$から$x=m+n \in M_{l}$となる.

$l \geq N’$のとき, $M_{l}=M_{l+1}$であるため$\{M_{i}\}$は停留的である.

以上より, $M$はNoether加群である.

$\square$

$M$を$\rm{torsion \; module}$として$L \subset t(L),N \subset t(N)$を示す.

このとき, $l \in L$について$f(l) \in M$からある正則元$r$によって$f(rl)=rf(l)=0_{M}$である.

$rl \in \mathrm{Ker}f$と$f$の単射性から, $rl=0_{L}$である.

従って, $l \in t(L)$より$L \subset t(L)$である.

$n \in N$について$g$の全射性からある$m \in M$で$n=g(m)$である.

ある正則元$r$で$rm =0_{M}$より$rn=rg(m)=g(0_{M})=0_{N}$である.

従って, $n \in t(N)$より$N \subset t(N)$である.

逆に$L,N$を$\rm{torsion \; module}$として$M \subset t(M)$を示す.

任意の$m \in M$について, ある正則元$r$によって$g(rm)=rg(m)=0_{N}$である.

従って, $rm \in \mathrm{Ker}g=\mathrm{Im}f$から, ある$l \in L$によって$rm=f(l)$である.

$l$はある正則元$t$により$tl=0_{L}$のため, $(tr)m=t(rm)=tf(l)=f(tl)=0_{M}$である.

$tr$は$R$の正則元より, $m \in t(M)$である.

以上から, $M \subset t(M)$である.

$\square$