ずっこけ数学徒の学習帳

閉包と内部　触点と内点の全体集合として閉包と内部がそれぞれ定義される．この表記が一般的だが，別の定義の方法がある．それは代数学における「生成する～」といった概念と類似した手法である．今回は，閉包の別表記を証明し，素の双対概念としての内部の性質を示す．

開近傍　一般に近傍と開近傍が一致するとは限らないが位相空間論の書籍によって，近傍による定義を証明中で実質開近傍だけを確認している場合が存在する．今回は，位相空間論での基本的な近傍を利用した定義をすべて開近傍に置き換えた主張と同値であることを確認する．

互いに素なイデアル　2つの整数の最大公約数が1のとき，互いに素であると呼びました．倍数全体が整数環のイデアルより，この性質をより一般の環のイデアルに拡張できる．今回は，イデアルの互いに素を取り上げイデアルの積と共通部分の一致をみる．その利用として，環における中国剰余定理も示す．

零因子・整域・体　環の乗法はイデアルを部分加群と見た時の作用と同じである．ここから，作用と同様に零因子を定義できる．環の場合は同じ集合同士の演算のため，環本体により強い制約を付けることができる．今回は，加群の概念から拡張する形で環の零因子を定義し特別な環である整域と体の議論をいくつか挙げる．

完全列　加群ごとに比較考察する場合は、それぞれ具体的に確認すればいいが任意個の加群の関係や加群そのものの性質に複数個の異なる加群から導かれる状況では現実的ではない。そこで今回は線形写像の性質を図式で表現可能にし、一つの列として考える完全列を導入する。

加群の直積と直和　ベクトルや線形代数のベクトル空間では、成分ごとの和とスカラー倍で体上の加群としての演算を定義していた。これを集合で説明すると直積集合にこの2つの演算を定義していることと同じである。今回は、直積集合にそのまま演算を定義した加群の直積と特別な形の直和を定義しこれらの性質の差を見る。

零因子と正則元　線形代数では特に気にならない作用だが、環上の加群では加群と作用させる元それぞれ零元でなくともその作用が零元となることがある。今回は、作用で零元にできる零因子とその逆である非零因子（正則元）を定義し作用を線形写像による側面を考える。

準同型定理　集合論では自然な射影とそこから誘導される写像が定義できる。誘導写像が単射になる条件は決まっているが、線形写像の場合は特に核による剰余の関係がちょうど当てはまる。今回は、集合論での誘導写像の事実を用いて誘導写像の性質と準同型定理を示しその系として同型定理群を示す。

生成された部分加群　イデアルと同様に、特定の部分集合を含む最小の加群として生成された部分加群が定義される。こちらも有限生成を考えることができるがその側面はイデアルの場合と異なるものがある。今回は、生成された部分加群を定義するとともに線形代数における基底と環上の加群での生成系について考える。