NST-28’：きれいな類別として　同値類の類別

(1) $\Rightarrow$(2)については$X_{a} \cap X_{b}$が$X_{a}$または$X_{b}$である.

同値類は空集合ではないため, (2)が成り立つ.

(2)$\Rightarrow$(1)について

(1)の否定「$X_{a} \neq X_{b}$」を仮定し, (2)を示せば十分である.

空集合の性質から, $X_{a} \cap X_{b} \subset \emptyset$だけを示す.

$X_{a} \cap X_{b} \neq \emptyset$を仮定し, $x \in X_{a} \cap X_{b}$を取る.

$x \sim a,x \sim b$と推移律から, $a \sim b$が成り立つ.

任意の$x \in X_{a},y \in X_{b}$について$x \sim a,y \sim b$である.

$a \sim b$から, $x \sim b,y \sim a$となり$X_{a}=X_{b}$が成り立つ.

これは仮定から矛盾であるため, $X_{a} \cap X_{b} = \emptyset$である.

以上から, $X_{a} \cap X_{b}=\emptyset$である.

$\square$

まず集合$X$に対して, $X=\bigcup_{x \in X}X_{x}$が成り立つ.

任意の$x,y \in X $に対して, $x \sim y$ならば$X_{x}=X_{y}$である.

従って, $S \subset X$を次のように同値な元が自分自身のみの集合として定義する.

$$\forall x, \forall y \in S(X_{x}=X_{y} \iff x=y) $$

$\bigcup_{s \in S}X_{s} \subset X$について

各$s \in S$に対し, $X_{s} \subset X$より$\bigcup_{s \in S}X_{s} \subset X$である.

$X\subset \bigcup_{s \in S}X_{s}$について

任意の$x \in X$に対し, $S$の構成から$x \sim t \in S$が存在する.

従って, $X \subset \bigcup_{s \in S}X_{s}$となる.

また命題NST-28′-1から, $X=\bigcup_{s \in S}X_{s}$は類別である.

$\square$

$f:X \rightarrow S$を次のように定義する.

$$f(x)=a(a \in S, x \sim a)$$

各$a \in S \subset X$について$f(a)=a$より$f$は全射である.

また, $x, y \in X$について次が成り立つ.

$$x \sim y \iff f(x)=f(y)$$

従って, 集合の準同型定理から$(X/\sim) \cong S$である.

$\square$

構成した$f$は、$S$の方で代表元が一つに固定されるため、像が取り変わりません。

従って、well-definedは確認不要です。