RING-L-15：イデアルのべきの言いかえ　イデアル商

任意の$n$について$\mathfrak{m} \subset (\mathfrak{m}^{n+1}: \mathfrak{m}^n)$である.

$\mathfrak{m}$の極大性より, $\mathfrak{m} = (\mathfrak{m}^{n+1}: \mathfrak{m}^n)$である.

次に, $\mathfrak{m}^n/\mathfrak{m}^{n+1}$が$R/\mathfrak{m}$加群であることを示す.

これは, $\mathfrak{m} \subset \mathrm{Ann}_{R}(\mathfrak{m}^n/\mathfrak{m}^{n+1})$を示せば十分である.

$\mathfrak{m}^n/\mathfrak{m}^{n+1}=\mathfrak{m}^n/(\mathfrak{m}^{n+1} \cap \mathfrak{m}^n)$と第2同型定理より,

$\mathfrak{m}^n/\mathfrak{m}^{n+1} \cong (\mathfrak{m}^{n+1}+ \mathfrak{m}^n )/\mathfrak{m}^{n+1}$.

命題1(1)より, $\mathrm{Ann}_{R}((\mathfrak{m}^{n+1}+ \mathfrak{m}^n )/\mathfrak{m}^{n+1})=(\mathfrak{m}^{n+1}:\mathfrak{m}^n)$.

命題1(2)と$\mathfrak{m} = (\mathfrak{m}^{n+1}: \mathfrak{m}^n)$から,

$\mathrm{Ann}_{R}(\mathfrak{m}^n/\mathfrak{m}^{n+1})=\mathfrak{m}$.

以上から, $\mathfrak{m}^n/\mathfrak{m}^{n+1}$は$R/\mathfrak{m}$加群である.

$\square$