学習帳 MOD-L-13：平坦性と操作の可換性 テンソル積の像と核
テンソル積の像と核 テンソル積は実態がつかめない概念でよく挙がる。特にテンソル積同士の線形写像では零元になる条件が判別しずらいことに付随して核はっきりしないなどがあげられる。今回は、そんなテンソル積を線形写像をとおした像と核の性質をみて平坦性の一つの動機づけを考えてみる。
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学習帳 MOD-L-12：局所化によるつながり torsion module
torsion module torsion element全体であるT(M)は局所化の自然な写像の核と一致する。また、I進完備化についてもintersection Theoremから自然な写像が1+I=Sによる局所化の写像で核が一致する。今回はこれを使ってT(M)を別表現して特徴を考える。
学習帳 MOD-L-10：絶対に理解する Hom関手 （その4）
Hom関手 定義域と値域の加群は同型を通して置き換えや操作が可換とみなせる。特に、環自身を加群とみなして定義域に取ることでHomは単純化される。また、()内の直和・直積をHom全体の直積に置き換えることもできる。これらを基本に自由加群を定義域とするHom(F,-)は完全関手となることを最後に示す。
学習帳 MOD-L-9：剰余と局所化をテンソル積で tensor product
tensor product テンソル積は定義の面倒さもそうだが何に利用するのか初見ではイメージが付きにくい。今回は、利用の一つとして加群の剰余加群・局所化のテンソル積での変形により剰余体と加群のテンソル積をひとつの加群に整理できることを示す。
学習帳 MOD-L-8：絶対に理解する Hom関手 （その3）
Hom関手 加群全体は集合にならないので圏に対象を広げる必要がある。そして、Hom関手は定義域と値域をずらすものでそれぞれ関手としての振る舞いが異なる。圏と関手をものすごく単純に導入して加群とHomに置き換えてみていく。また、定義域と値域を同時にずらす操作としてのHomを見る。
学習帳 RING-L-15：含む素イデアル全体 Zariski閉集合
Zariski閉集合 SpecRの位相は代数幾何学で初めに登場する特別な対象です。代数多様体との関わりや対応が存在しどちらも並行して学習すると効能がすぐにわかる。しかし、この位相を構成するV(I)本体は閉集合となること以外に深く掘り下げられない。今回は、そんなV(I)の性質を見ていく。
代数基礎 BR1-3：イデアルの骨組み 生成されたイデアル
生成されたイデアル nの倍数全体からなるイデアル(n)は、必ずnを約数として持っている。これは、すべての元がnの何倍かによって作られていると言える。ここから、(n)はnによって生成されていると考えられる。一つの元だけではなく沢山の元や部分集合によって生成される場合も同様に考えられる。
素朴集合論（NST） NST-28：ただの写像を全単射に 自然な射影と誘導写像
自然な射影と誘導写像 商集合は、常に取ることができる全射「自然な射影」と元の写像を使った商集合からの写像「誘導写像」が取れる。この2つは、四則演算などの構造を入れた場合の準同型定理と同じ集合の同型が成り立つ。今回は、その同型とどのようにして単射になるかを考える。
素朴集合論（NST） NST-27：ぺちゃんこにしてきれいに 同値類と商集合
こんにちは！ケンけんです。前回は、集合をルールに従って部分集合で分ける「類別」を取り扱いました。今回は、第2弾の主題「同値類」とそこから得られる「商集合」を取り扱います。キーワード：同値類・商集合導入単射・全射の記事や前回の類別では、導入の...
素朴集合論（NST） NST-26：集合の分類と苦難のはじまり 類別と代表系
類別と代表系 集合は部分集合を持つが、全体集合を部分集合の和集合で表現することは可能である。部分集合とその補集合の和集合が単純な例である。この考えを広げて適当な部分集合の和集合によって表現することが類別である。そして類別の仕方が表れるものとして代表系と言うものが与えられる。