学習帳 RING-L-7：剰余環によるベクトル空間 多項式環
こんにちは！ケンけんです。今回は、多項式環の剰余環が有限次元ベクトル空間になることについて勉強したので書いていきます。後半は、多項式環での組成列を少し考えます。 キーワード：多項式環・剰余環 必要知識：多項式環の除法定理 多項式環 以前の学...
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学習帳 学習帳 RING-L-6：元の積をイデアルに拡張する イデアルの積
イデアルの積 イデアルの積は、元の積によって生成されるイデアルのことでした。これは、一つのイデアルだけで考えると数のべきのようなことができるが数での0<x<1での数のような振る舞いをする。これにより、自然とイデアルの降鎖が得られます。Artin環の条件などでべきが一致するケースもあります。
学習帳 RING-L-5：環のイデアル商を加群に拡張 加群のイデアル商
こんにちは！ケンけんです。 今回は、加群のイデアル商について見ていきます。 キーワード：加群のイデアル商 必要知識：環上の加群 加群のイデアル商 まずは、イデアル商を加群の場合に一般化します。 問題 $R$：単位的可換環 $M$：$R$-加...
学習帳 FIELD-L-3：添加された体 Q(√d)（その３）
こんにちは！ケンけんです。今回は、添加された体$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$が、ある剰余環との同型になることを考えます。 キーワード：剰余環との同型 必要知識：準同型定理 除法公理 今回示す事実は次のことです。 問題 $\ma...
学習帳 RING-L-4：イデアル商についてのメモと課題
イデアル商 環論では、イデアルの割り算のような概念としてイデアル商は登場します。そして、準素イデアルについては特徴的な性質を持ちます。今回は、まず類似概念である素イデアルに拡張できることを示します。 また、そこから得られる課題をメモ代わりに書いていきます。
学習帳 FIELD-L-2：添加された体 Q(√d)（その2）
添加された体 以前、Q(√d)は{1,√d}を基底とするQベクトル空間であることをQ[√d]と一致することを集合の元の比較で示しました。これと別のアプローチとして添加された体は、分数多項式に代入した形で書き下すことができます。今回は、一つの元を添加したこの表記を考えます。また、その手法で前回の別証明を与えます。
学習帳 FIELD-L-1：添加された体 Q(√d)（その１）
添加された体でイメージしやすいものでQ(√d)があります。これは、{1,√d}を基底とするQ線形空間であり、複素数のようなa+b√dの形で書けるためきれいです。しかしこれは定義から明らかではなく、証明する必要があります。
学習帳 RING-L-3：次元0の整域はとても単純 次元0の整域
次元0の整域 Artin環と一般の整域は次元がそれぞれ0か1以上となります。この2つを同時に満たすArtin整域は体になることを今回は考えます。そして必要な情報「次元0」と「整域」に着目することで「次元0の整域」にまで話を一般化することができます。
学習帳 RING-L-2：整域の局所化 商体の最小性
商体の最小性 商体は、整域の全商環でした。これは、部分間の同一視を用いることで元の整域を含む最小の体である特徴を持っています。今回は、まず商体の最小性を示します。また、整数環は標数0の体有理数体を商体としますが、異なる標数について考えられる課題をいくつか取り上げ考察します。
学習帳 RING-L-1：包含がなくても部分環と見たい 部分環の同一視
代数学では、直接包含関係がなくても、つながりが必要な場合があります。今回は、同型を通した部分環の同一視を考えます。