学習帳

soc(M) の「socle」は「一番底」を指すらしい.... こんにちは！ケンけんです。 今回は、ホモロジー代数の影響で時々現れるsocleという加群についての記事になります。 それでは行ってみよう！ キーワード：加群の礎石（socle）...

加群の正則元　環の正則元は乗法についてであり、加群の場合は作用に対応する。正則元は環以上に、加群の性質を記述する際によく取られ一個で剰余や局所化を行うこともある。また加群の商（またはcolon submodule）でも割り算の商と余りのような振る舞いをする。今回は、それを用いて正則元の特徴づけをする。

イデアル商　イデアルのべきで剰余加群を取る操作は、正則局所環を定義する線形空間の次元や随伴次数付き環Gr(R)のように時折用いられる。今回は、よく用いる任意のべきについての極大イデアルのケースを示した後に少し一般のイデアルで成立する例を考えていく。

剰余体　イデアルのべきで剰余加群を取る操作は、随伴次数付き環Gr(R)の斉次部分を構成する。特に極大イデアルmの場合は局所化した環で再び随伴次数付き環Gr(R_{m})を考えると、斉次部分が元の斉次部分と同型を通して一致する。今回はこの加群の同型を考える。

定義イデアル　ネーター半局所環の概念の一つとして現れる定義イデアル。これは、Jacobson根基によって定義されネーター環の極大イデアルを根基とする準素イデアルと類似する性質を持っていた。今回は、準素分解による属する素イデアルの集合によって定義イデアルに特徴づけを与える。

ネーター半局所環　極大イデアルの個数については一個で局所環、有限個で半局所環となる。一般に局所環以外ではJacobson根基に有限個の共通部分といううれしい情報が加わる。今回は、ネーター半局所環の剰余環がアルチン環となる非自明な結果について取り扱う。

多項式環の構成　多項式といえば方程式並みになじみ深い数式の一つだが、厳密に考えるとxのようなわからない文字を説明できない。方程式の根でも関数の独立変数でもない多項式のxは次数付き環を導入することで代数的に説明される。この記事では、多項式環の表示とxの意味づけを示す。

テンソル積の像と核　テンソル積は実態がつかめない概念でよく挙がる。特にテンソル積同士の線形写像では零元になる条件が判別しずらいことに付随して核はっきりしないなどがあげられる。今回は、そんなテンソル積を線形写像をとおした像と核の性質をみて平坦性の一つの動機づけを考えてみる。

torsion module　torsion element全体であるT(M)は局所化の自然な写像の核と一致する。また、I進完備化についてもintersection Theoremから自然な写像が1+I=Sによる局所化の写像で核が一致する。今回はこれを使ってT(M)を別表現して特徴を考える。

Hom関手　定義域と値域の加群は同型を通して置き換えや操作が可換とみなせる。特に、環自身を加群とみなして定義域に取ることでHomは単純化される。また、()内の直和・直積をHom全体の直積に置き換えることもできる。これらを基本に自由加群を定義域とするHom(F,-)は完全関手となることを最後に示す。