MOD1-10’：図式から構成する自由加群　普遍性

MOD1-10′-2から，$X \cong \{e_{x}\}$と包含写像$\{e_{x}\} \to R^{(X)}$の合成写像$i$について$(R^{(X)},i)$も普遍的となる．

従って，以下２つの図式が可換となる．

従って，$\psi \phi f=\psi i=f, \phi \psi i =\phi f =i$となる．

また以下図式も可換となる．

この図式は$a=\mathrm{id}_{M},b=\mathrm{id}_{R^{(X)}}$で成り立つ．

$a,b$の唯一性から，$\psi \phi=\mathrm{id}_{M},\phi \psi =\mathrm{id}_{R^{(X)}}$となる．

以上から，$\phi$は同型写像であり$M \cong R^{(X)}$となる．

$\square$

$X=M$を基底とする自由加群$F$が存在し，普遍的な組として$(F,i)$を取る．

普遍性から$\mathrm{id}_{M}$に対して，$\mathrm{id}_{M}=\phi i$を満たす$\phi \in \mathrm{Hom}_{R}(F,M)$がただ一つ存在する．

ここで$\mathrm{id}_{M}$は全単射のため，$\phi$は全射となる．

$\square$

$\rm(1)$　任意の$f,g \in F(S),x,y \in X,r \in R$を取る．

$x=y$のとき，以下の通りで加法及び作用が$\rm{well}$-$\rm{defined}$となる．

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)=f(y)+g(y)=(f+g)(y)$.

$(rf)(x)=r(f(x))=r(f(y))=(rf)(y)$.

$\rm(2)$　任意の$R$加群$N$と写像$g:X \to N$を取る．

任意の$f \in F(X)$に対して，$P_{f}=\{x \in X|f(x)\neq 0\}$は有限集合より，

$\sum_{x \in P_{f}}f(x))g(x)$は有限和となる．

$\phi:F(X)\to N(f \mapsto \sum_{x \in P_{f}}f(x))g(x))$と定義する．

$\phi$の$\rm{well}$-$\rm{defined}$性は，$F(X)$が$R$加群であることから従う．

従って，$\phi \in \mathrm{Hom}_{R}(F(X),N)$である．

任意の$x \in X$に対し，$(\phi \rho)(x)=\phi(\delta_{x})=\delta_{x}(x)g(x)=g(x)$より$\phi \rho =g$である．

$\psi \rho =g$となる$\psi \in \mathrm{Hom}_{R}(F(X),N)$を取る．

任意の$x \in X$に対し，以下のように$\phi=\psi$となる．

$\psi(\delta_{x})=(\psi \rho)(x)=g(x)(\psi \rho)(x)=\psi(\delta_{x})$.

以上から，$(F(X),\rho)$は普遍的である．

$\square$