MOD1-6：同型を操る基本的な変形とその一意性　準同型定理

(1)$x,y \in M$に対し, 「$x-y \in L \Rightarrow f(x)=f(y)$」を満たせば$\widetilde{f}$が定義できる.

$L \subset \mathrm{Ker}f$より$f(x-y)=0_{N}$のため$f(x)=f(y)$である.

従って, $\widetilde{f}:M/L \to N(\overline{x} \mapsto f(x))$がwell-definedである.

$\overline{x},\overline{y} \in M/L,r \in R$を任意で取る.

$\begin{align*}\widetilde{f}(\overline{x}+\overline{y})&=\widetilde{f}(\overline{x+y}) =f(x+y)\\ &=f(x)+f(y)\\ &= \widetilde{f}(\overline{x})+\widetilde{f}(\overline{y}).\end{align*}$

$\begin{align*}\widetilde{f}(r\overline{x})&=\widetilde{f}(\overline{rx}) =f(rx)\\ &=rf(x)\\ &= r\widetilde{f}(\overline{x}).\end{align*}$

以上から, $\widetilde{f}$は$R$線形写像である.

(2)$\widetilde{f}$の単射性は,「$x-y \in \mathrm{Ker}f \iff f(x)=f(y)$」を示せば十分である.

特に$\Leftarrow$を確認する.

任意の$x,y \in \mathrm{Ker}f$に対し, $f(x)=f(y)$を仮定する.

$f(x-y)=0_{N}$から, $x-y \in \mathrm{Ker}f$が得られる.

$\square$

(1)MOD1-4-1から単射$R$線形写像$\widetilde{f}:M/\mathrm{Ker}f \to N$が誘導される.

NST-28-2から, $\widetilde{f}$による同型$M/\mathrm{Ker}f \cong \mathrm{Im}f$が成り立つ.

(2)は(1)に従う.

$\square$

$i:N \to N+P$を包含写像, $\pi:N+P \to (N+P)/P$を自然な準同型とする.

このとき,$\pi i:N \to (N+P)/P$が得られる.

準同型定理から, $\pi i$の全射性と$\mathrm{Ker}(\pi i)=N \cap P$を示せば十分である.

任意の$\overline{n+p} \in (N+P)/P(n \in N,p \in P)$に対し,

$\overline{n+p}=\overline{n}$から$(\pi i)(n)=\overline{n}$となり全射である.

$\mathrm{Ker}(\pi i)=N \cap P$について, $n \in N$に対する以下の同値性から成り立つ.

$$\begin{align*}n \in \mathrm{Ker}(\pi i) &\iff (\pi i)(n)=\overline{n}=\overline{0}\\ &\iff n \in P\\ &\iff n \in N \cap P. \end{align*}$$

$\square$

自然な準同型$\pi:M \to M/P,\phi:M/P \to (M/P)/(N/P)$を取る.

準同型定理から, $\Phi=\phi \pi$の全射性と$\mathrm{Ker}\Phi=N$を示せば十分である.

全射性は, 全射である自然な準同型の合成より成り立つ.

$\mathrm{Ker}\Phi=N$について,

任意の$n \in \mathrm{Ker}\Phi$を取ると, $\Phi(n)=\overline{(\overline{n})}=\overline{\overline{0}}$となる.

従って, $\overline{n}=\overline{n}-\overline{0} \in N/P$からある$p \in P$により$n+p \in N$.

$P \subset N$から, $n \in N$となる.

逆に$n \in N$を取ると, $\overline{n} \in N/P$より$\overline{(\overline{n})}=\overline{\overline{0}}$である.

従って, $n \in \mathrm{Ker}\Phi$となる.

$\square$