ずっこけ数学徒の学習帳

ネーター半局所環　極大イデアルの個数については一個で局所環、有限個で半局所環となる。一般に局所環以外ではJacobson根基に有限個の共通部分といううれしい情報が加わる。今回は、ネーター半局所環の剰余環がアルチン環となる非自明な結果について取り扱う。

多項式環の構成　多項式といえば方程式並みになじみ深い数式の一つだが、厳密に考えるとxのようなわからない文字を説明できない。方程式の根でも関数の独立変数でもない多項式のxは次数付き環を導入することで代数的に説明される。この記事では、多項式環の表示とxの意味づけを示す。

テンソル積の像と核　テンソル積は実態がつかめない概念でよく挙がる。特にテンソル積同士の線形写像では零元になる条件が判別しずらいことに付随して核はっきりしないなどがあげられる。今回は、そんなテンソル積を線形写像をとおした像と核の性質をみて平坦性の一つの動機づけを考えてみる。

torsion module　torsion element全体であるT(M)は局所化の自然な写像の核と一致する。また、I進完備化についてもintersection Theoremから自然な写像が1+I=Sによる局所化の写像で核が一致する。今回はこれを使ってT(M)を別表現して特徴を考える。

Hom関手　定義域と値域の加群は同型を通して置き換えや操作が可換とみなせる。特に、環自身を加群とみなして定義域に取ることでHomは単純化される。また、()内の直和・直積をHom全体の直積に置き換えることもできる。これらを基本に自由加群を定義域とするHom(F,-)は完全関手となることを最後に示す。

tensor product　テンソル積は定義の面倒さもそうだが何に利用するのか初見ではイメージが付きにくい。今回は、利用の一つとして加群の剰余加群・局所化のテンソル積での変形により剰余体と加群のテンソル積をひとつの加群に整理できることを示す。

Hom関手　加群全体は集合にならないので圏に対象を広げる必要がある。そして、Hom関手は定義域と値域をずらすものでそれぞれ関手としての振る舞いが異なる。圏と関手をものすごく単純に導入して加群とHomに置き換えてみていく。また、定義域と値域を同時にずらす操作としてのHomを見る。

Zariski閉集合　SpecRの位相は代数幾何学で初めに登場する特別な対象です。代数多様体との関わりや対応が存在しどちらも並行して学習すると効能がすぐにわかる。しかし、この位相を構成するV(I)本体は閉集合となること以外に深く掘り下げられない。今回は、そんなV(I)の性質を見ていく。

生成されたイデアル　nの倍数全体からなるイデアル(n)は、必ずnを約数として持っている。これは、すべての元がnの何倍かによって作られていると言える。ここから、(n)はnによって生成されていると考えられる。一つの元だけではなく沢山の元や部分集合によって生成される場合も同様に考えられる。