ずっこけ数学徒の学習帳

命題論理で現れた「かつ」「または」「ならば」。これらを利用して与えられた集合から新しい集合を考えます。

数字が一致するなどは同じかどうかですぐわかります。では、数の集まりはどう比較すればいいでしょうか。今回は、命題の同値により集合が一致することを定義します。

集合は、高校数学の初めに登場し共通テスト（旧センター試験）のときだけ必要な道具になりがちです。今回は、命題論理の視点から集合の意味を考えていきます。

全称記号・存在記号　述語は関数のように、言語の代名詞のように主語を動かせる命題であった。この時、命題を真にする主語が必ず存在する命題もあればどんな主語でも偽になる恒偽命題も存在する。そこで、関数の変数に見立てて主語に条件を付けるのが「任意の～」や「～が存在する」という表現である。

述語論理　関数は変数と出力を持った道具である。文章では、主語に相当するものでここを代名詞に置き換えることがよくする手段である。そこで、より命題の幅を広げるために主語を動かすことで命題を関数のように扱えるようにする。これが述語であり、真偽を値として返すものである。

言語ではその場その場で適切な言いかえがよく使われます。英語の単語や、日本語の語彙などがそうです。それは、命題論理でも有用です。同値命題は、一見異なる性質（命題）を同じものとみなし、必要な言葉へ言い換える道具です。

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