論理学と集合論

全単射　数え上げの基本は、「一対一対応」である。これは、算数の始めに数を考える際にリンゴやミカンの数の比較から始まっているため納得できる。写像の中でもこれは重要であり「全単射」と呼ばれる。さらには、全単射が存在すること自体が、普遍集合の上で同値関係を与える。

写像の一致　写像は特別な直積集合である。従って、２つの写像が同じかどうかは直積集合として一致しているかで説明できる。しかし、いちいち集合を持ち出しているとどうしても確認する上で煩雑になる。そこで、一般の写像の書き方で同値な述語を作りそれによって一致を考える。また、合成写像の一致の利用先として可換図式も取り上げる。

こんにちは！ケンけんです。前回は、定義域の集合を部分集合にする写像の制限を扱いました。 今回は、合成写像とそこから出てくる写像の一致を扱います。 キーワード：合成写像 導入 イメージしやすい整数の倍々を考えます。 4の倍数は、適当な整数を2...

写像の制限　写像の議論では、直積数号の定義を使わない場合漠然と「こうできる」として定義され話が進む。しかし直積集合を利用すれば部分集合の観点からそれらの議論が命題論理の話にまで落とし込める。今回の写像の制限は定義域の部分集合と地域の集合の直積集合として特徴づけられる。

写像　2つの集合を対応させるものとした規則を写像と呼ぶ。しかし、対応だとか規則は定義していません。そこで別の切り口からも考えて対応と写像を命題論理と集合の道具を駆使して定義していきます。また、写像を作るときに気を付ける必要があるwell-definedであることについても触れます。

上界下界　数の大小関係では、0<x<1の場合だとこの中身の1/2などが興味の対象だった。しかし、この範囲の外にある数たち「x <=0」・「1<=x」を観察することで範囲内の数の情報が引き出すことができる。上界と下界はそんな範囲を大小で抑える数のことである。そして、その床下と天井が上限と下限である。

こんにちは！ケンけんです。前回は大小関係の一般化「順序関係」を定めました。 今回は、最大最小の一般化「最大限・最小限」と重要な情報「極大元・極小元」を考えます。 キーワード：最大最小・極大極小 導入 前回大小関係の中で、最大値・最小値が存在...

こんにちは！ケンけんです。前回は、等号の一般化である同値関係を取り上げました。 今回は、数の大小関係の正体である順序関係を取り扱います。 キーワード：順序関係 導入 スタートはやっぱり数の大小関係です。 例　NST-15-1 $\mathb...

同値関係　述語で変数が2個以上の場合n-項関係と呼んでいました。この関係に集合を被せることで様々な性質を見て取ることができる。等号・不等号・四則演算等々。そんな関係に、等号のような情報を持ち込みます。それが、命題における言いかえである同値から集合について考える同値関係です。

直積集合　縦と横に軸を取って、座標や複素平面上で曲線や面積（積分）などを考えることは解析学や幾何学では常套手段でした。では、この座標そのものを見ると2つの成分を持つ点の集合だったと見れます。直積集合はそんな座標平面などの一般化のようなものです。