学習帳 MOD-L-9：剰余と局所化をテンソル積で tensor product
tensor product テンソル積は定義の面倒さもそうだが何に利用するのか初見ではイメージが付きにくい。今回は、利用の一つとして加群の剰余加群・局所化のテンソル積での変形により剰余体と加群のテンソル積をひとつの加群に整理できることを示す。
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学習帳 MOD-L-8：絶対に理解する Hom関手 （その3）
Hom関手 加群全体は集合にならないので圏に対象を広げる必要がある。そして、Hom関手は定義域と値域をずらすものでそれぞれ関手としての振る舞いが異なる。圏と関手をものすごく単純に導入して加群とHomに置き換えてみていく。また、定義域と値域を同時にずらす操作としてのHomを見る。
学習帳 RING-L-15：含む素イデアル全体 Zariski閉集合
Zariski閉集合 SpecRの位相は代数幾何学で初めに登場する特別な対象です。代数多様体との関わりや対応が存在しどちらも並行して学習すると効能がすぐにわかる。しかし、この位相を構成するV(I)本体は閉集合となること以外に深く掘り下げられない。今回は、そんなV(I)の性質を見ていく。
学習帳 RING-L-14：整数環で見る次元と素イデアル イデアルの対応
イデアルの対応 剰余環のイデアルの特徴づけとしてよく与えられるイデアル対応原理であるが、これは素イデアルについても成立する。ここで現れる含む素イデアル全体は、ある種の閉集合として特徴を持っており素イデアル全体を位相空間となる。その特徴付けの一つとして利用できる。
学習帳 MOD-L-11：完全列から得られる情報たち exact sequence
exact sequence 短完全列の情報保存を作ったはいいが利用先として何があるのか。その回答としては直和や剰余加群との自明な短完全列によって現れる有用な性質たちがある。また、保存される性質として有限生成加群も存在し、ネーター環上ならば成り立ってくれるためこれを示す。
学習帳 RING-L-12：数から拡張した二項定理を考える 二項定理
こんにちは！今回は、高校数学Ⅱで登場する二項定理とその係数を可換環上で考えるとどうなるのか、その応用をまとめたので記事に書いていきます。 それでは行ってみよう！ キーワード：二項定理 この記事では、環はすべて単位的可換環とします。 二項定理...
学習帳 TOPO-L-2：実数の基本近傍系としてのε近傍 内点と開集合
内点と開集合 微積分の実数全体の集合の位相は数列の極限や関数の極限を取り扱う際にうまく避けたまま議論を行う。ε-Nやε-δ論法は位相空間の基本近傍系の考えを先に知れば、このような定義になるのは当たり前だと感じられる。今回は、そんなε近傍が基本近傍系をなすことを見る。
学習帳 RING-L-11：多項式環の完備化としてのべき級数環 環の完備化
こんにちは！ケンけんです。今回は、代数系での完備化を知るために多項式環の特別な完備化を見ていきます。実際問題、完備化は有理数を実数にすることと手法としては似ていても実際にはかなり違うことに思えます。そのため、単純な「多項式環」を調べるわけで...
学習帳 MOD-L-7：絶対に理解する Hom関手 （その2）
Hom関手 準同型写像全体を取る操作は、左完全性を保つ。これは、左端が零加群0となっている短完全列もどきについてHomの列に置き換えても左完全列となることである。なぜ、右完全が、そして、完全列を保ってくれないのか。その反例は以前作った短完全列である。
学習帳 MOD-L-6：蛇じゃない方の強い道具 Five Lemma
Five Lemma 完全列の主張ではFive LemmaとSnake Lemmaの2つがあり前者を利用しtorsion-freeとdivisibleの完全列の情報保存について示そうと思った。しかし、前回の一方向しか示せない。試行錯誤した結果、反例を見つけた。記事後半では、うまくいかない理由を証明の観点から考察する。