学習帳

Hom関手　加群全体は集合にならないので圏に対象を広げる必要がある。そして、Hom関手は定義域と値域をずらすものでそれぞれ関手としての振る舞いが異なる。圏と関手をものすごく単純に導入して加群とHomに置き換えてみていく。また、定義域と値域を同時にずらす操作としてのHomを見る。

Zariski閉集合　SpecRの位相は代数幾何学で初めに登場する特別な対象です。代数多様体との関わりや対応が存在しどちらも並行して学習すると効能がすぐにわかる。しかし、この位相を構成するV(I)本体は閉集合となること以外に深く掘り下げられない。今回は、そんなV(I)の性質を見ていく。

イデアルの対応　剰余環のイデアルの特徴づけとしてよく与えられるイデアル対応原理であるが、これは素イデアルについても成立する。ここで現れる含む素イデアル全体は、ある種の閉集合として特徴を持っており素イデアル全体を位相空間となる。その特徴付けの一つとして利用できる。

exact sequence　短完全列の情報保存を作ったはいいが利用先として何があるのか。その回答としては直和や剰余加群との自明な短完全列によって現れる有用な性質たちがある。また、保存される性質として有限生成加群も存在し、ネーター環上ならば成り立ってくれるためこれを示す。

こんにちは！今回は、高校数学Ⅱで登場する二項定理とその係数を可換環上で考えるとどうなるのか、その応用をまとめたので記事に書いていきます。それでは行ってみよう！キーワード：二項定理この記事では、環はすべて単位的可換環とします。二項定理まずは、...

内点と開集合　微積分の実数全体の集合の位相は数列の極限や関数の極限を取り扱う際にうまく避けたまま議論を行う。ε-Nやε-δ論法は位相空間の基本近傍系の考えを先に知れば、このような定義になるのは当たり前だと感じられる。今回は、そんなε近傍が基本近傍系をなすことを見る。

こんにちは！ケンけんです。今回は、代数系での完備化を知るために多項式環の特別な完備化を見ていきます。実際問題、完備化は有理数を実数にすることと手法としては似ていても実際にはかなり違うことに思えます。そのため、単純な「多項式環」を調べるわけで...

Hom関手　準同型写像全体を取る操作は、左完全性を保つ。これは、左端が零加群0となっている短完全列もどきについてHomの列に置き換えても左完全列となることである。なぜ、右完全が、そして、完全列を保ってくれないのか。その反例は以前作った短完全列である。

Five Lemma　完全列の主張ではFive LemmaとSnake Lemmaの2つがあり前者を利用しtorsion-freeとdivisibleの完全列の情報保存について示そうと思った。しかし、前回の一方向しか示せない。試行錯誤した結果、反例を見つけた。記事後半では、うまくいかない理由を証明の観点から考察する。

全単射の応用　2つの集合X,Yとその間に全単射があるとする。片や位相空間Xで片やただの集合Yの場合、全単射が同相写像となるようにただの集合Yに位相を定めることができるのか。その構成自体は商位相の構成と同様である。ここで構成した位相は全単射を連続にする位相として最強だとして特徴づけられる。