加群基礎

準同型定理　集合論では自然な射影とそこから誘導される写像が定義できる。誘導写像が単射になる条件は決まっているが、線形写像の場合は特に核による剰余の関係がちょうど当てはまる。今回は、集合論での誘導写像の事実を用いて誘導写像の性質と準同型定理を示しその系として同型定理群を示す。

生成された部分加群　イデアルと同様に、特定の部分集合を含む最小の加群として生成された部分加群が定義される。こちらも有限生成を考えることができるがその側面はイデアルの場合と異なるものがある。今回は、生成された部分加群を定義するとともに線形代数における基底と環上の加群での生成系について考える。

剰余加群　加群構造を持つように商空間を構成した剰余加群は、ただ加群構造を簡略化しただけではなくイデアルの特徴を見る側面が存在する。そしてイデアルの対応と同様に部分加群の対応が存在しこれが大きな意味を持つ。今回は、剰余加群の定義と意義を見るとともに剰余加群同士の一致を考える。

今回ほぼ線形代数... こんにちは！ケンけんです。 今回は、加群準同型写像を取り扱います。 代数系の基礎導入はどれも同じですがしっかりやっていきますよ。 キーワード：加群準同型写像（線形写像） この記事では、$R$加群と書き単位的可換環$R...

部分加群　イデアルが加群であることは定義の類似性からわかるが、それは元の環との間の関係としてどう説明されるのか。それが部分加群であり、線形部分空間の一般化でもある。そしてその定義分はまさしくイデアルそのものであり環論の視点だけではなく加群論からの見方を与えてくれる。

環上の加群　ベクトル空間は実数や複素数のような体のスカラー倍を持つ集合である。これは一般に体上の加群と呼ばれ、体に依存した様々な議論が可能であった。環上の加群は、スカラー倍の元が整数環などの環にい置き換えたものであり体で可能だった議論がどのような性質から成り立つのかを与えてくれる。