代数基礎BR1-2：倍数全体はとてもきれい イデアル
イデアル 環の特徴的な部分集合イデアルは、整数の倍数全体として説明される。ベクトルと同様の演算を持つイデアルだが、部分構造を持つ部分環以上に重要な意味を持つ。また、倍数全体がイデアルであることから素因数分解とのつながりが見えてくる。そんなイデアルの定義と演算を考える。
ケンけん
代数基礎 素朴集合論（NST）NST-21：話を集合に落とす 可換図式
写像の一致 写像は特別な直積集合である。従って、２つの写像が同じかどうかは直積集合として一致しているかで説明できる。しかし、いちいち集合を持ち出しているとどうしても確認する上で煩雑になる。そこで、一般の写像の書き方で同値な述語を作りそれによって一致を考える。また、合成写像の一致の利用先として可換図式も取り上げる。
素朴集合論（NST）NST-20：対応を結ぶ 合成写像
こんにちは！ケンけんです。前回は、定義域の集合を部分集合にする写像の制限を扱いました。今回は、合成写像とそこから出てくる写像の一致を扱います。キーワード：合成写像導入イメージしやすい整数の倍々を考えます。4の倍数は、適当な整数を2回2倍する...
学習帳RING-L-8：イデアル商のメモ（その2）
イデアル商 以前取り上げた素イデアルとイデアル商の同値についての課題。これは整数環による反例によってあっさりと矛盾することが示された。準素イデアルについても同様の手法で示される。 今回は、前回の課題の反例の説明と新しく剰余環とイデアル商を取る操作の可換性について考える。
学習帳SET-L-1：Zornの補題の系
Zornの補題 極大元の存在を考えるときに用いるZornの補題。これの議論では、極大元が存在することで話が終わってしまうがより強力な情報として半順序集合のすべての元xについてx<=aとする極大元aが取れることも実が説明される。今回はこれを考えていく。
素朴集合論（NST）NST-19：対応を縛る 写像の制限
写像の制限 写像の議論では、直積数号の定義を使わない場合漠然と「こうできる」として定義され話が進む。しかし直積集合を利用すれば部分集合の観点からそれらの議論が命題論理の話にまで落とし込める。今回の写像の制限は定義域の部分集合と地域の集合の直積集合として特徴づけられる。
代数基礎BR1-1：整数全体は特徴的 整数環と環
整数環と環 整数は初等整数論に始まり暗号・代数的整数などへその抜き取った性質たちが利用されていきます。その背後には、代数構造である「環」が見て取れます。この環を調べるのが環論です。今回はまず整数の持つ演算を確認した上で、どの性質を持って環と呼ぶのかを見ていきます。
素朴集合論（NST）NST-18：実はこいつも直積集合 写像
写像 2つの集合を対応させるものとした規則を写像と呼ぶ。しかし、対応だとか規則は定義していません。そこで別の切り口からも考えて対応と写像を命題論理と集合の道具を駆使して定義していきます。また、写像を作るときに気を付ける必要があるwell-definedであることについても触れます。
学習帳MOD-L-2：作用で零にならない加群 torsion-free module
torsion-free module divisibleの双対概念として登場するtorison-free。これは、正則元によるr倍写像が単射準同型であることで定義される。全射から単射になることで簡単になることと少し制限されることの差が加群の演算により見える。今回も参考文献で自明とする命題と書かれていない命題を考える。
学習帳MOD-L-1：divisible moduleのメモ
divisible module ～倍の写像が加群準同型写像（線形写像）となることになる。この写像の全射・単射によって特徴的な加群となる。今回のdivisibleは、その写像が全射（epimorphism）であるときに呼ばれる。この性質は部分加群や剰余加群などの様々な対象でも保存される。