ケンけん

剰余環　整数の余りに着目してあまり計算を簡略化していた合同式はそのまま環論に拡張できる。割る数がイデアルに対応し余りが商集合の元として現れる。合同式で和と積が可能であるようにこの商集合が再び環となり剰余環は呼ばれる。今回は、その構成とともにイデアル対応・極小素イデアルの表記について触れる。

環準同型写像とその像と核　環同士を結ぶ写像にて像集合を値域の部分環とする写像が環準同型写像である。しかし、他の代数系と異なりその像（像集合）と核は部分環・イデアルと別の種類の部分集合として現れる。今回は、環準同型写像を定義と基本的な単射・全射・同型に触れる。

部分環と拡大環　環の特別な部分集合としてイデアルがあったが、これは環にはならない。環構造を保つ部分集合として部分環が存在し、元の環を合わせて拡大と呼ばれる。部分環側が定義だが、含む側である拡大環にも視点が行く。今回はイデアルとの差を考えるとともに単位的な環だからこそ起こる差を見ていく。

今回ほぼ線形代数...こんにちは！ケンけんです。今回は、加群準同型写像を取り扱います。代数系の基礎導入はどれも同じですがしっかりやっていきますよ。キーワード：加群準同型写像（線形写像）この記事では、$R$加群と書き単位的可換環$R$上の加群...

部分加群　イデアルが加群であることは定義の類似性からわかるが、それは元の環との間の関係としてどう説明されるのか。それが部分加群であり、線形部分空間の一般化でもある。そしてその定義分はまさしくイデアルそのものであり環論の視点だけではなく加群論からの見方を与えてくれる。

環上の加群　ベクトル空間は実数や複素数のような体のスカラー倍を持つ集合である。これは一般に体上の加群と呼ばれ、体に依存した様々な議論が可能であった。環上の加群は、スカラー倍の元が整数環などの環にい置き換えたものであり体で可能だった議論がどのような性質から成り立つのかを与えてくれる。

soc(M) の「socle」は「一番底」を指すらしい....こんにちは！ケンけんです。今回は、ホモロジー代数の影響で時々現れるsocleという加群についての記事になります。それでは行ってみよう！キーワード：加群の礎石（socle）前提知識...

根基イデアル　可換環の場合は、乗法の順序を無視できるので数と同様に元のべきを考えることができる。このべきによってイデアルの元となる集合は基本的に元のイデアルより大きな集合でかつイデアルとなる。そしてこの集合は、固定したイデアルを含む素イデアルの共通部分で表現できる。

minimal prime ideal　極大の逆である極小性は、環の不変量や特定の元を取り除く手法を利用する際に重宝される。一般に共通部分や和集合は素イデアルではないが、包含関係が全順序の場合は素イデアルとなる。これを利用し極小素イデアルの存在を確認する。