こんにちは！ケンけんです．
この記事では，加群に作用させて零にできる元として零因子を取り上げました．
今回は逆に加群の元を作用で零化する環の元に注目します．
キーワード：零化イデアル
本記事では，特に言及しない場合は以下の記号を用いる．
$R$：単位的可換環 $M$：$R$加群 $N,P \subset M$：$M$の部分加群
導入
剰余環$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$は，次の作用で$\mathbb{Z}$加群になります．
$$\mu:\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}((r,\overline{x}) \mapsto \overline{rx}).$$
このとき，$I=(12)$の元を作用させることで$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$は零化されます．
（$I(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z})=\{\sum_{i}r_{i}\overline{x_{i}}|r_{i} \in I, \overline{x_{i}} \in \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\}=0$を意味する）
そして$I$は$\mathbb{Z}$のイデアルとなっています．
ここから，加群を零加群にする元全体に意味があるといえます．
先ほどの$I=(12)$は，集合表示で次のように説明できます．
$$I=\{r \in \mathbb{Z}|r(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}) =(\overline{0})\}.$$
この$I$を$\mathrm{Ann}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z})$と書き，零化イデアルと呼びます．
剰余環の場合は，剰余を取っている$12$倍をすることで$0$になることがわかります．
これを一般の加群で考えると，$I=(12)$は次のようにみなせます．
$$\{r \in \mathbb{Z}|r\mathbb{Z}=(12)\}.$$
しかし，この表現ではイデアルになりません．
なぜなら，$0\mathbb{Z}=0 \neq (12)$から零元を持てないからです．
これは一般の環や加群でも同様です．
これは，条件式に等号を使っていることが問題になっています．
なので次のようにすればイデアルであり，剰余環の例を説明できます．
$(P:_{R}N)=\{r \in R|rN \subset P\}$はイデアルである．
$0N=0 \subset P$のため，$(P:_{R}N)\neq \emptyset$である．
任意の$r \in R$及び$x,y \in (P:_{R}N)$を取る．
$xN, yN \subset P$のため，
$(x+y)N \subset xN+yN \subset P$である．
従って，$x+y \in (P:_{R}N)$となる．
また$rxN \subset xN \subset P$のため，$rx \in (P:_{R}N)$である．
以上から，$(P:_{R}N)$は$R$のイデアルである．
$\square$
これにより，先ほどの$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$に対する$I=(12)$は次のように表現できます．
$$I=(12)=(0:_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/12\mathbb{Z})$$
この$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$を部分加群$N=(\overline{2})$に置き換えることで，
$J=(6)=(0:_{\mathbb{Z}}N)$と表現できます．
定義 AnnM
それでは定義していきます．
一般の呼び方は諸説ありなので，よく利用されている方を採用します．
$M$：$R$加群 $N,P \subset M$：$M$の部分加群
$(N:_{R}P)=\{r \in R|rP \subset N\}$：$N$と$P$の$\rm{colon \; submodule}$
$\mathrm{Ann}_{R}P=(0:_{R}P)$：$P$の零化イデアル($\rm{Annihilator}$)
せっかくなので，有理整数環以外の例を見てみましょう．
$R=M=\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$とする．
イデアル$I=(1+\sqrt{3})$に対し，$((2):_{R}I)=(2,1-\sqrt{3})$である．
$(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})=-2$から，$1-\sqrt{3} \in b(2:_{R}I)$である．
また$2I \subset (2)$は明らかである．
従って$(1-\sqrt{3})I \subset (2)$から，
$(1-\sqrt{3}) \subset (2:_{R}I)$である．
逆に，任意の$a+b\sqrt{3} \in (2:_{R}I)$を取る．
このとき，ある$c+d\sqrt{3} \in R$により
$(a+b\sqrt{3})(1+\sqrt{3})=2(c+d\sqrt{3})$と書ける．
このとき次の合同式が得られる．
従って$a\equiv -b (\mod 2)$である．
また，$a+3b\equiv 2b\equiv 0 \pmod 2$となる．
これは$b \in \mathbb{Z}$によらず成り立つため，
条件式は$a+b \equiv 0 \pmod 2$のみである．
以上から，次の表記を得る．
$$(a+b\sqrt{3})=(a+b)-b(1-\sqrt{3}) \in (2,1-\sqrt{3}).$$
従って，$(2:_{R}I) \subset (2, 1-\sqrt{3})$となる．
$\square$
通常の加群と剰余加群の言いかえ
導入では零化をわかりやすくするために，
剰余加群を例として使いました．
これは一般の加群の$\rm{colon \; submodule}$で言いかえができます．
$(N:_{R}P)=\mathrm{Ann}_{R}((N+P)/N).$
任意の$r \in (N:_{R}P)$に対し，$rP \subset N$である．
任意の$\overline{n+p} \in (N+P)/N$に対し，
$rp \in N$のため，$r(\overline{n+p}) =\overline{0}$となる．
従って，$r \in \mathrm{Ann}_{R}((N+P)/N)$である．
逆に任意の$r \in \mathrm{Ann}_{R}((N+P)/N)$を取る．
任意の$\overline{n+p} \in (N+P)/N$に対し$r(\overline{n+p}) =\overline{0}$より，
$rn+rp=n’ \in N$と書ける．
従って$rp=n’-rn \in N$から$r \in (N:_{R}P)$である．
以上から，$(N:_{R}P)=\mathrm{Ann}_{R}((N+P)/N)$である．
$\square$
おわりに
一般的には零化イデアルの方を使用しますが，
ごくまれに$\rm{colon \; submodule}$で扱うこともあります．
そのようなときは，剰余加群に置き換えて零化イデアルで考えることになります．
また今後きれいな加群を扱う際には必要になってくるため，記事にしました．
以上，ケンけんでした．
