この記事では，環はすべて単位的可換環とします．
$R,T$：環 $M,N$：$R$-加群 $P$：$T$加群
定義 AnnM
$\mathrm{Ann}_{R}M=\{r \in R|\forall m \in M \; s.t. \; rm=0\}$：$M$の零化イデアル
$\mathrm{Ann}_{R}M=(0:_{R}M)$.
$M$が有限生成(生成元$m_{1},\ldots, m_{n}$)に対し，
$\mathrm{Ann}_{R}M=\cap_{i=1}^{n}\mathrm{Ann}_{R}(m_{i})$(RING-L-5命題より)．
基本性質
任意の$m \in M$に対し，$\phi:R/\mathrm{Ann}_{R}M \to Rm(\overline{r}\mapsto rm)$は同型写像である．
$I=\mathrm{Ann}_{R}M$とおく．
$\overline{r}=\overline{t} \in R/I$に対し，
$r-t \in I$のため$(r-t)m=0$である．
従って$\phi(\overline{r})=rm=tm=\phi(\overline{t})$から$\phi$は$\rm{well}$-$\rm{defined}$である．
$R$線形写像であることは$M$の分配法則から明らかである．
任意の$rm \in Rm \backslash \{0\}$に対し，$r \notin I$である．
よって，$\phi(\overline{r})=rm$となり全射である．
$\overline{r} \in \mathrm{Ker}\phi$に対し，$\phi(\overline{r})=rm=0$である．
従って$r \in I$であり$\overline{r}=\overline{0}$となる．
以上から，$\mathrm{ker}\phi \subset \overline{0}$であり，
逆の包含は明らかのため$\phi$は単射となる．
$\square$
メモ：この一般論から$\mathrm{Ass}_{R}M$による剰余環から$M$への単射を仮定できる．
$f \in \mathrm{Hom}_{R}(M,N)$
(1)$f$は単射$\Rightarrow \mathrm{Ann}_{R}N \subset \mathrm{Ann}_{R}M$,
(2)$f$は全射$\Rightarrow \mathrm{Ann}_{R}M \subset \mathrm{Ann}_{R}N$.
(1)$r \in \mathrm{Ann}_{R}N$に対し，
$f(rM)=rf(M) \subset rN=0$である．
$f$の単射性より$rM=0$である．
従って$r \in \mathrm{Ann}_{R}M$である．
(2)$r \in \mathrm{Ann}_{R}M$に対し，
$f$の全射性から$0=f(rM)=rf(M)=rN$である．
従って$r \in \mathrm{Ann}_{R}N$である．
$\square$
$f:R \to T$：環準同型写像
(1)$\mathrm{Ann}_{R}(M+N)=\mathrm{Ann}_{R}M \cap \mathrm{Ann}_{R}N$,
特に有限生成自由加群$F$に関して$\mathrm{Ann}_{R}F=\mathrm{Ann}_{R}R$である．
(2)$f^{-1}(\mathrm{Ann}_{T}P)=\mathrm{Ann}_{R}P$.
（$P$は$f$によるスカラー制限により$R$加群とみなす．）
(1)$M, N \subset M+N$のため，
命題1から$\mathrm{Ann}_{R}(M+N) \subset \mathrm{Ann}_{R}M,\mathrm{Ann}_{R}N$となる．
従って$\mathrm{Ann}_{R}(M+N) \subset \mathrm{Ann}_{R}M \cap \mathrm{Ann}_{R}N$である．
逆は明らかである．
(2)$r \in f^{-1}(\mathrm{Ann}_{T}P)$に対し，
$r \bullet P=f(r)P=0$のため$r \in \mathrm{Ann}_{R}P$である．
逆に$r \in \mathrm{Ann}_{R}P$に対し，
$f(r)P=r \bullet M=0$のため$r \in f^{-1}(\mathrm{Ann}_{T}P)$である．
$\square$
$S \subset R$：積閉集合
(1)$S^{-1}(\mathrm{Ann}_{R}M) \subset \mathrm{Ann}_{S^{-1}R}S^{-1}M$,
(2)$M$は有限生成$\Rightarrow S^{-1}(\mathrm{Ann}_{R}M) = \mathrm{Ann}_{S^{-1}R}S^{-1}M $.
(1)任意の$r/s \in S^{-1}(\mathrm{Ann}_{R}M)(r \in \mathrm{Ann}_{R}M, s \in S)$を取る．
任意の$m/t \in S^{-1}M)(m \in M,t \in S)$に対し，
$rm=0_{M}$のため$(r/s)(mt)=rm/st=0$となる．
従って$r/s \in \mathrm{Ann}_{S^{-1}R}S^{-1}M$である．
(2)$S^{-1}R$が零環ならば，
イデアル$S^{-1}(\mathrm{Ann}_{R}M) , \mathrm{Ann}_{S^{-1}R}S^{-1}M$はともに$0$となり等号は自明となる．
従って$S^{-1}R\neq 0$を仮定する．
$M$の生成元を$m_{1},\ldots, m_{n}$とする．
(1)から逆の包含を示せば十分となる．
任意の$r/s \in \mathrm{Ann}_{S^{-1}R}S^{-1}M$及び$m_{i}/s_{i} /in S^{-1}M$を取る．
$(r/s)(m_{i}/s_{i})=0$のため，ある$v_{i} \in S$により$v_{i}rm_{i}=0$となる．
$v=v_{1}\cdots v_{n}$に対し，$v \in S$である．
$S^{-1}R\neq 0$のため$0 \notin S$であり$v\neq 0$となる．
任意の$m \in M$に対し，$vrm=0$となるため$vr \in \mathrm{Ann}_{R}M$となる．
以上から$r/s =vr/vs \in S^{-1}(\mathrm{Ann}_{R}M)$となる．
$\square$
