この記事では，環はすべて単位的可換環とします．
$R,T$：環 $M,N$：$R$-加群 $P$：$T$加群
定義 AnnM
$\mathrm{Ann}_{R}M=\{r \in R|\forall m \in M \; s.t. \; rm=0\}$：$M$の零化イデアル
基本性質
$f \in \mathrm{Hom}_{R}(M,N)$
(1)$f$は単射$\Rightarrow \mathrm{Ann}_{R}N \subset \mathrm{Ann}_{R}M$,
(2)$f$は全射$\Rightarrow \mathrm{Ann}_{R}M \subset \mathrm{Ann}_{R}N$.
(1)$r \in \mathrm{Ann}_{R}N$に対し，
$f(rM)=rf(M) \subset rN=0$である．
$f$の単射性より$rM=0$である．
従って$r \in \mathrm{Ann}_{R}M$である．
(2)$r \in \mathrm{Ann}_{R}M$に対し，
$f$の全射性から$0=f(rM)=rf(M)=rN$である．
従って$r \in \mathrm{Ann}_{R}N$である．
$\square$
$f:R \to T$：環準同型写像
(1)$\mathrm{Ann}_{R}(M+N)=\mathrm{Ann}_{R}M \cap \mathrm{Ann}_{R}N$,
特に有限生成自由加群$F$に関して$\mathrm{Ann}_{R}F=\mathrm{Ann}_{R}R$である．
(2)$f^{-1}(\mathrm{Ann}_{T}P)=\mathrm{Ann}_{R}P$.
（$P$は$f$によるスカラー制限により$R$加群とみなす．）
(1)$M, N \subset M+N$のため，
命題1から$\mathrm{Ann}_{R}(M+N) \subset \mathrm{Ann}_{R}M,\mathrm{Ann}_{R}N$となる．
従って$\mathrm{Ann}_{R}(M+N) \subset \mathrm{Ann}_{R}M \cap \mathrm{Ann}_{R}N$である．
逆は明らかである．
(2)$r \in f^{-1}(\mathrm{Ann}_{T}P)$に対し，
$r \bullet P=f(r)P=0$のため$r \in \mathrm{Ann}_{R}P$である．
逆に$r \in \mathrm{Ann}_{R}P$に対し，
$f(r)P=r \bullet M=0$のため$r \in f^{-1}(\mathrm{Ann}_{T}P)$である．
$\square$
