BR1-11：最大公約数はイデアルでも　互いに素なイデアル

ユークリッドの互除法から，$x=23,y=-5$が解の一つである．

従って，$12(x-23)+55(y+5)=0$が得られる．

$12,55$の最大公約数が$1$より互いに素である．

従って$x-23$は$55$の倍数であり$x=55k+23(k$は整数$)$と表せる．

元の式に戻すことで，$y=-12k-5$となる．

以上から$x=55k+23,y=-12k-5$が一般解である．

$\square$

(1)は元の比較から明らかである．

(2)

$I_{1}$と$J_{1},J_{2}$が互いに素を仮定する．

このとき，$I_{1}+J_{1}=I_{1}+J_{2}=R$である．

よってある$x,x’ \in I_{1},y \in J_{1},z \in J_{2}$により，

$x+y=x’+z=1_{R}$である．

従って$1_{R}=(x+y)(x’+z)=(xx’+xz+x’y)+yz \in I_{1}+J_{1}J_{2}$である．

以上から，$I_{1}+J_{1}J_{2}=R$から互いに素である．

よって任意の$i=1,\ldots, n$に対し，

$I_{i}$と$J_{1}J_{2},J_{j}(j=3,\ldots, m)$は互いに素である．

これを繰り返すことで，$I_{i}$と$J=J_{1}\cdots J_{m}$は互いに素である．

同様に，$J$と$I_{i}(i=1,\ldots, n)$が互いに素のため，

$J$と$I_{1}\cdots I_{n}$も互いに素となる．

(3)

(2)から，$I_{1}I_{2}=I_{1}\cap I_{2}$を確認すれば十分である．

$I_{1}+I_{2}=R$から，

ある$x \in I_{1},y \in I_{2}$で$x+y=1_{R}$と表せる．

従って任意の$a \in I_{1}\cap I_{2}$に対し，

$a=ax+ay \in I_{1}I_{2}$となり$I_{1}\cap I_{2} \subset I_{1}I_{2}$となる．

$\square$

$f:R\to \prod_{i=1}^{n}R/I_{i}(x \mapsto (x+I_{i}))$を定義する．

これは環準同型として$\rm{well}\text{-}\rm{defined}$である．

$\phi$は$f$に関する準同型定理による同型写像と一致するため，

$I=\mathrm{Ker}f$及び$f$の全射性を示せば十分である．

$I=\mathrm{Ker}$に関して

$I \subset \mathrm{Ker}f$は明らかなので逆を示す．

$x \in \mathrm{Ker}f$に対し，各$i$で$x+I_{i}=0+0_{i}$のため$x \in I_{i}$である．

従って$x \in \bigcap_{i=1}^{n}I_{i}=I$となる．

$f$の全射性について

任意の$(x_{i}+I_{i}) \in \prod_{i=1}^{n}R/I_{i}$を取る．

ここで各$i$に対し$I_{i}$と$I_{j}(j\neq i)$は互いに素より，

BR1-11-3から$I_{i}$と$\prod_{j\neq i}I_{j}=\bigcap_{j\neq i}I_{j}$は互いに素である．

よって$y_{i}+z_{i}=1_{R}$とする$y_{i} \in I_{i},z_{i} \in \bigcap_{j\neq i}I_{j}$が存在する．

$x_{i}=x_{i}y_{i}+x_{i}z_{i}$から，$x_{i}+I_{i}=x_{i}z_{i}+I_{i}$となる．

また$j\neq i$に対し$x_{i}z_{i} \in I_{j}$のため，$i=1$のときは

$f(x_{1}z_{1})=(x_{1}+I_{1},0,\cdots ,0)$となる．

各$i=2,\ldots,n$で$x_{i}z_{i}$は$R/I_{i}$の項を$x_{i}+I_{i}$，それ以外を$0$とする．

以上から，$f(\sum_{i=1}^{n}x_{i}z_{i})=(x_{i}+I_{i})$となり$f$は全射となる．

$\square$