MOD1-8：作りは似ているのにその差が大きい　加群の直積と直和

$f:M\to \Pi_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda}(m \mapsto (f_{\lambda}(m)))$と定義する.

well-defindと$R$線形性は成分ごとに比較するため, 各$f_{\lambda}$から従う.

任意の$m \in M$に対し, $p_{\lambda}f(m)=p_{\lambda}((f_{\lambda}(m)))=f_{\lambda}(m)$より可換である.

次に$p_{\lambda}h=f_{\lambda}$を満たす$h \in \mathrm{Hom}_{R}(M,\Pi_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda})$を取り$h=f$を示す.

任意の$m \in M$に対し, $f(m)=(f_{\lambda}(m))$であり$h(m)=(y_{\lambda})$とおく.

各$\lambda$で$f_{\lambda}=p_{\lambda}f=p_{\lambda}h$より, $f_{\lambda}(m)=y_{\lambda}$となる.

従って$h(m)=(f_{\lambda}(m))=f(m)$となり$h=f$である.

$\square$

任意の$(x_{\lambda}),(y_{\lambda’}) \in \bigoplus_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda}$に対し,

$i=1,\ldots,n,j=1 ,\ldots , m$で$x_{\lambda_{i}}\neq 0, y_{\lambda’_{j}}\neq 0$, それ以外を$0$とする.

$g:\bigoplus_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda} \to M((x_{\lambda}) \mapsto \sum_{\lambda \in \Lambda}g_{\lambda}(x_{\lambda}))$と定義する.

$x_{\lambda_{i}}\neq 0(i=1,\ldots, n)$それ以外で$0$より有限和$\sum_{i=1}^{n}g_{\lambda_{i}}(x_{\lambda_{i}})$が取れる.

$g_{\lambda_{i}}$のwell-definedから, $(x_{\lambda})=(x’_{\lambda})$ならば各$\lambda$で$g_{\lambda}(x_{\lambda})=g_{\lambda}(x’_{\lambda})$である.

従って, $\sum_{i=1}^{n}g_{\lambda_{i}}(x_{\lambda_{i}})=\sum_{i=1}^{n}g_{\lambda_{i}}(x’_{\lambda_{i}})$から, $g$はwell-definedである.

任意の$\lambda \in \Lambda$で$x \in M_{\lambda}$に対し,

$gi_{\lambda}(x)=g(\delta_{\lambda,\lambda’}x)=g_{\lambda}(x)$.

従って, $gi_{\lambda}=g_{\lambda}$である.

作用について$r \in R$に対し,

$rg((x_{\lambda}))=r(\sum_{i=1}^{n}g_{\lambda_{i}}(x_{\lambda_{i}}))=\sum_{i=1}^{n}g_{\lambda_{i}}(rx_{\lambda_{i}}))=g((rx_{\lambda}))=g(r(x_{\lambda}))$.

加法について, $\lambda_{i}=\lambda’_{j}$とする$\lambda$は$m+n$個以下より,

$i=1,\ldots , l \leq m+n$で$x_{\lambda_{k}} \neq 0,y_{\lambda_{k}} \neq 0$と並び変える.

次に, $i=n-l,\ldots, n$に対し$x_{\lambda_{i}} \neq 0, y_{\lambda_{i}}=0$,

$j=m-l, \ldots , m$に対し$x_{\lambda’_{j}} = 0, y_{\lambda’_{j}} \neq 0$として,

$\lambda’_{j}=\lambda_{n+j}$で$i=1, \ldots, m+n-l$で並べ替える.

これにより, $x_{\lambda_{i}}+y_{\lambda_{i}} \neq 0$となりえるように取り換えられた.

従って,

$\begin{align} g((x_{\lambda})+(y_{\lambda})) &= \sum_{i=1}^{m+n-l}g_{\lambda_{i}}(x_{\lambda_{i}}+y_{\lambda_{i}})\\ &= \sum_{i=1}^{m+n+l}g_{\lambda_{i}}(x_{\lambda_{i}})+\sum_{i=1}^{m+n+l}g_{\lambda_{i}}(y_{\lambda_{i}})\\ &=g((x_{\lambda}))+g((y_{\lambda})).\end{align}$

以上から, $g$は$R$線形写像である.

各$\lambda$で$g’i_{\lambda}=g_{\lambda}$を満たす$g’:\bigoplus_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda} \to M$を取る.

任意の$(x_{\lambda}) \in \bigoplus_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda}$について,

$i=1,\ldots, n$で$x_{\lambda_{i}}\neq 0$, それ以外の成分を$0$とする.

このとき, $(x_{\lambda})=\sum_{i=1}^{n}i_{\lambda_{i}}(x_{\lambda_{i}})$と書ける.

$g’i_{\lambda}=g_{\lambda}=gi_{\lambda}$から, 次のように$g=g’$が示される.

$g'((x_{\lambda}))=\sum_{i=1}^{n}g’i_{\lambda_{i}}(x_{\lambda})=\sum_{i=1}^{n}gi_{\lambda_{i}}(x_{\lambda})=g((x_{\lambda}))$.

$\square$