こんにちは！ケンけんです。
今回は環の構造比較に用いられる環準同型写像を取り扱います。
キーワード：環準同型写像
この記事では、環はすべて単位的可換環とします。
導入
構造を保つ写像を群・環・体・加群それぞれで準同型写像と呼びます。
その導入は次の点で分けて考えると見通しがいいです。
- 定義域の環構造（加法・乗法）で像集合を環にできる.
- 像集合が値域の部分環になる.
まず演算で必要なことを挙げてみます。
設定として$f:R→T$を環どうしの写像とします。
1.（像集合の環構造は定義域の構造に従う）
- $x,y \in R \Rightarrow f(x)+f(y)=f(x+y)$.
- 左辺(“$f(R)$”の加法)を右辺(“$R$”の加法)で定義する.
- $x,y \in R \Rightarrow f(x)f(y)=f(xy)$.
- 左辺(“$f(R)$”の乗法)を右辺(“$R$”の乗法)で定義する.
任意の$f(R)$の元は$f(x),f(y)(x,y \in R)$の形で環構造が定義できています。
2.（像集合が値域の部分環）
- $f(x),f(y) \in f(R) \Rightarrow f(x)+f(y) \in f(R)$.
- ある$z \in R$で$f(x)+f(y)=f(z)$とできる.
- $f(x),f(y) \in f(R) \Rightarrow f(x)f(y) \in f(R)$.
- ある$w \in R$で$f(x)f(y)=f(w)$とできる.
こちらは$T$の演算と像集合の定義から必要な条件となります。
注意：1.と2.の環構造は次のように定義は違います。
- $f(R)$に$R$の演算で演算を定義している.
- $T$の演算で$f(R)$の条件を説明している.
しかし、1.は2.の条件も満たすため1.と2.を合わせた次の条件を採用します。
- $f(x),f(y) \in f(R) \Rightarrow f(x)+f(y) =f(x+y)$,
- $f(x),f(y) \in f(R) \Rightarrow f(x)f(y) =f(xy)$.
それぞれ左辺($T$の演算)を右辺($R$の演算)で説明できています。
そして部分環の条件には単位元を含むことも必要です。
$1_{T}=f(x)$として適当な$x \in R$は同じ単位元$1_{R}$でしょう。
以上の条件から、「像集合を定義域と同じ構造の部分環にする写像」ができました。
定義
それでは定義していきます。
$R,T$：環 $f:R \to T$：写像
$(1) x,y \in R \Rightarrow f(x)+f(y) =f(x+y), f(x)f(y) =f(xy)$
$(2)f(1_{R})=1_{T}$
$f$：環準同型写像($\rm{ring \; homomrophism}$)$\overset{def}{\iff} f$は$(1),(2)$を満たす.
単射のときはモノ($\rm{monomorphism}$),
全射のときはエピ($\rm{epimorphism}$)と呼ぶことがある.
導入で挙げたように、像集合は値域の部分環になります。
$R,T$を$R$加群, $f:R \to T$を環準同型写像とする.
このとき, $f(R)$は$T$の部分環である.
$1_{T} \in f(R)$より空集合ではない.
$y,y’ \in f(R)$に対し, $y-y’,yy’ \in f(R)$を確認する.
ある$x,x’ \in R$により$f(x)=y,f(x’)=y’$と書けるため,
$y+y’=f(x+x’) \in f(R), yy’=f(xx’) \in f(R)$となる.
$\square$
この定義により零元の対応などが決まります。
$R,T$を環, $f:R \to T$を環準同型写像とする.
(1)$f(0_{R})=0_{T}$
(2)$x \in R \Rightarrow f(-x)=-f(x)$,
(3)$x \in R^{\times}$に対し, $f(x^{-1})=f(x)^{-1}$である.
特に, $f(R^{\times}) = f(R)^{\times} \subset T^{\times}$である.
(1) $0_{f(R)}=0_{T}$より$f(R)$の元で零元となることを確認する.
任意の$y=f(x) \in f(R)$に対し,
$f(x)=f(x+0_{R})=f(x)+f(0_{R})=f(0_{R})+f(x)$.
従って$f(0_{R}) =0_{f(R)}$である.
(2)任意の$x \in R$に対し,
$0_{T}=f(0_{R})=f(x-x)=f(x)+f(-x)$,
から$-f(x)=f(-x)$となる.
(3)任意の$x \in R^{\times}$に対し,
$1_{T}=f(1_{R})=f(xx^{-1})=f(x)f(x^{-1})=f(x^{-1})f(x)$.
従って$f(x)^{-1}=f(x^{-1})$である.
$\square$
像と核, 同型
ここからは、環準同型写像を通した加群の比較に触れます。
まず次の主張が成り立ちます。
$R,T$を環, $f:R \to T$を環準同型写像とする.
(1)$\mathrm{Im}f=f(R)$は$T$の部分環である,
(2) $\mathrm{Ker}f=\{x \in R|f(x)=0_{T}\}$は$R$のイデアルである.
$\mathrm{Im}f$を$f$の像($\rm{image}$), $\mathrm{Ker}f$を$f$の核($\rm{kernel}$)と呼ぶ.
像についてはすでに確認したので、核について示します。
$f(0_{R})=0_{T}$から, $0_{R} \in \mathrm{Ker}f \neq \emptyset$である.
任意の$x,y \in \mathrm{Ker}f, r \in R$を取る.
このとき, $f(x)=f(y)=0_{T}$から
$f(x+y)=f(x)+f(y)=0_{T}, f(rx)=f(r)f(x)=0_{T}$.
$x+y,rx \in \mathrm{Ker}f$となる.
以上から, $\mathrm{Ker}f$は$M$のイデアルである.
$\square$
これらは、単射・全射を特徴づけるツールになります。
$R,T$を環, $f:R \to T$を環準同型写像とする.
(1)$f$は単射$ \iff \mathrm{Ker}f=\{0_{R}\}$,
(2)$f$は全射$ \iff \mathrm{Im}f=T$.
全射は定義そのままなので単射だけ確認します。
(1) $\Rightarrow$について,
$\mathrm{Ker}f \subset \{0_{R}\}$を示せば十分である.
任意の$x \in \mathrm{Ker}f$に対し$f(x)=0_{T}=f(0_{R})$である.
$f$の単射性から$x=0_{R}$より$\mathrm{Ker}f \subset \{0_{R}\}$である.
$\Leftarrow$について,
$x,y \in M$に対し$f(x)=f(y)$を仮定すると$f(x-y)=0_{T}$である.
従って, $x-y \in \mathrm{Ker}f$から$x=y$で$f$は単射である.
$\square$
さて像と核で別の部分構造が出てきます。
命題から「核はイデアル」なので、仮に部分環になるとどうなるのでしょう。
定義から$1_{R} \in \mathrm{Ker}f$必要ですが、これは$\mathrm{Ker}f=R$を意味します。
よって$f$がすべて$0_{T}$に移す零写像となります。
そして像は部分環より単位元を持ちますが、$\mathrm{Im}f=\{0_{T}\}$から$0_{T}=1_{T}$になります。
この状況は、値域が零環（単位元と零元が一致する環）の場合しかありえません。
任意の環同士で比較する場合は、部分環になりえません。
ここから、環の比較においてイデアル・部分環ともに考える必要性が感じられます。
最後に全単射な環準同型写像の特徴付けを取り上げます。
$R,T$を環, $f:R \to T$を環準同型写像とする.
このとき, 以下は互いに同値である.
(1)$f$は全単射である,
(2)$f$は環準同型写像となる逆写像を持つ.
全単射な環準同型写像を同型写像($\rm{isomorphism}$)と呼ぶ.
どちらもほぼ同じですが、書籍によっては(2)で記述しています。
この命題は全単射の確認で十分だということを主張しています。
$(1) \Rightarrow (2)$の$g=f^{-1}$が環準同型写像となることを示す.
任意の$y,y’ \in T$に対し,
$f$の全射性から$y=f(x),y’=f(x’)(x,x’ \in R)$と表せる.
従って, $g$の加法は次のように定義される.
$\begin{align*}g(x+x’) &= g(f(x)+f(x’))\\ &=g(f(x+x’))=x+x’\\ &=gf(x)+gf(x’)\\ & =g(y)+g(y’). \end{align*}$
また乗法も次のように定義される.
$\begin{align*}g(yy’) &= g(f(xx’))\\ &= xx’=(gf(x))(gf(x’))\\ &= g(y)g(y’). \end{align*}$
以上から, $g$は環準同型写像である.
$(2) \Rightarrow (1)$については、逆写像が存在するため明らかである.
$\square$
(2)が定義になる理由は加群版で考察しています。（参考）
おわりに
核がイデアルになる説明として、同値関係が作れることがあります。
剰余環・環準同型定理を扱うときに改めて話題に挙げます。
以上、ケンけんでした。
