こんにちは！ケンけんです。
今回は、素数の拡張として素イデアルを導入していきます。
キーワード：素イデアル
この記事では、環はすべて単位的可換環とします。
導入
整数での素数は、「$1$と自分自身以外で割り切れない数」でした。
$2$つの整数$x,y$の積が素数$p$倍のとき、$p$は$x,y$のいずれかの素因数です。
（素因数分解の一意性より）
これを集合（単項イデアル）で表すと次のようになります。
$$xy \in (p) \Rightarrow (x \in (p)) \vee (y \in (p)) \cdots (*)$$
素数の情報から、単項イデアルとして素であることの条件が得られました。
これを満たすイデアルを、仮で「素イデアル」と呼びます。
すると、確かに素数と素イデアルは対応することがわかります。
正の整数$p$に対し, 次が成り立つ.
$p$は素数$\iff$ $P=(p)$は素イデアル.
「$p$は素数$\Rightarrow P=(p)$は素イデアル」は、上の素イデアルの構成から明らか.
「$p$は素数$\Leftarrow P=(p)$は素イデアル」について
正の整数$x,y$で$xy=p$と書けると仮定する.
$x=p,y=1$または$x=1,y=p$となることを示せば十分である.
$xy=p \in (p)$より, $x \in (p)$または$y \in (p)$である.
$x \in (p)$ならば, ある整数$k$で$x=pk$と書ける.
$xy=pky=p$から, $ky=1$となる.
よって, $k=y=1$となり$x=p,y=1$である.
$y \in (p)$についても, 同じ手法で$y=pk(k \in \mathbb{Z})$から$kx=1$となる.
従って, $x=1,y=p$となる.
$\square$
ここから、条件$(*)$は「素」であるイデアルが持つ条件と言えます。
$(*)$の定義が、素数の定義らしいことを後で取り上げます。
定義 素イデアル
それでは条件$(*)$を一般の環で再定義します。
$R$：環 $P \subsetneq R$：イデアル $x, y \in R$
$xy \in P \Rightarrow (x \in P) \vee (y \in P) \cdots (*)$
$P$は素イデアル($\rm{prime \; ideal}$)$\overset{def}{\iff}$ $P$は$(*)$を満たす.
全体の集合を$\mathrm{Spec}R=\{P \subset R|P:$素イデアル$\}$と書く.
単項イデアルを一般のイデアルに置き換えただけです。
今回は$P$で書きましたが、書籍では大抵$\mathfrak{p}$（ドイツ文字）で書かれています。
$\mathfrak{p}$や$\mathfrak{q}$を書くのは大変なのでよく次の書き方をします。
素イデアルとイデアルの積
$n$個の整数$a_{i}(i=1, \ldots, n)$の積が素数$p$倍になるとします。
このとき、素因数分解の議論である$j$で$a_{j}$は$p$を素因数に含みます。
つまり、次が成り立ちます。
$$a_{1} \cdots a_{n} \in (p) \Rightarrow \exists j \in \{1, \ldots, n\} s.t. a_{j} \in (p)$$
これは、一般の素イデアルが持つ性質です。
$R$を環とし, $P \subsetneq R$をイデアルとする.
$a_{i} \in R$とイデアル$I_{i} \subset R$について次が成り立つ. $(i \in N=\{1, \ldots ,n\})$
(1)$a_{1}a_{2} \cdots a_{n} \in P \Rightarrow \exists i \in N s.t. a_{i} \in P$,
(2)$I_{1}I_{2} \cdots I_{n} \subset P \Rightarrow \exists i \in N s.t. I_{i} \subset P$.
(1)結論の否定命題「$\forall i \in N(a_{i} \notin P)$」を仮定する.
$a_{1}a_{2} \cdots a_{n} \in P$から, $a_{1} \in P$または$a_{2} \cdots a_{n} \in P$である.
$a_{1} \notin P$から$a_{2} \cdots a_{n} \in P$である.
同様に, $a_{2} \notin P$から$a_{3} \cdots a_{n} \in P$が成り立つ.
この議論を$n-1$回繰り返すことで$a_{n} \in P$となり$a_{n} \notin P$に矛盾する.
従って, ある$i$で$a_{i} \in P$である.
(2)(1)同様に「$\forall i \in N(I_{i} \nsubseteq P)$」を仮定する.
このとき, 各$i$で$a_{i} \in I_{i} \cap P^{c}$が存在する.
$a=a_{1} \cdots a_{n} \in I_{1} \cdots I_{n} \subset P$が成り立つ.
ここで,(1)からある$i$で$a_{i} \in P$となり$a_{i} \in I_{i} \cap P^{c}$に矛盾する.
従って, ある$i$で$I_{i} \subset P$である.
$\square$
単項イデアル$P=(p)$が素イデアルとすることで整数と同じ状況にできます。
単項イデアル以外でも、次のことがわかります。
$$素イデアルに含まれる元は素イデアルの元で割り切れる$$
おわりに
同値な言いかえが多く存在する素イデアルですが、今回は素数から動機づけしました。
実際に、素数は「単項イデアルが素イデアル」となる素元へ一般化されます。
道具がそろっていないので、また別の機会に。
以上、ケンけんでした。
