MOD-L-13：平坦性と操作の可換性　テンソル積の像と核　

$R$を環とし，$M, N, P$を$R$加群，$f \in \mathrm{Hom}_{R}(M,N)$を取る．

$f_{P}=f \otimes 1:M \otimes_{R}P \rightarrow N \otimes_{R} P(m \otimes p \mapsto f(m) \otimes p)$と定義する．

(1)$\mathrm{Im}f \otimes_{R}P \cong \mathrm{Im}f_{P}$

(2)$\mathrm{Ker}f \otimes_{R} P \cong \mathrm{Ker}f_{P}$

• これらが成り立つ条件は何か？

$R$を環とし，$M$を$\rm{divisible}$ $R$加群とする．

このとき，各$R$のイデアル$I$について次が成り立つ．

$\mathrm{Im}f \otimes_{R}P = \mathrm{Im}f_{P}$.

（反例）$R,M=\mathbb{Z}, N=\mathbb{Q},P=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$（$p$は素数）．

$f : M \rightarrow N$（包含写像）.

$\mathbb{Q}$はdivisible moduleより，$N \otimes_{R}P=0$.

よって$\mathrm{Im}f_{P}=\{0\}$だが，$\mathrm{Im}f \otimes_{R}P=\mathbb{Z} \otimes_{R}P \cong P \neq \{0\}$となる．

$\mathrm{Ker}f \otimes_{R} P = \mathrm{Ker}f_{P}$.

（反例）$R=\mathbb{Z}, M=\mathbb{Q}, N=\mathbb{Q}/\mathbb{Z},P=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$（$p$は素数）．

$f : M \rightarrow N$（自然な準同型）.

$\mathbb{Q}$はdivisible moduleより，$M \otimes_{R}P=0$.

よって$\mathrm{Ker}f_{P}=0$だが，$\mathrm{Ker}f \otimes_{R}P=\mathbb{Z} \otimes_{R}P \cong P \neq \{0\}$となる．

$R$を環とし，次の列を$R$加群と準同型がなす完全列とする．

$P$を$R$加群とする．

$P$は平坦加群$\overset{def}{\iff}$ 次の列は完全列である．

（$f\otimes 1$が単射になることはテンソル積では自明ではない．）

$R$を環とし，$M, N, P$を$R$加群，$f \in \mathrm{Hom}_{R}(M,N)$を取る．

$f_{P}=f \otimes 1:M \otimes_{R}P \rightarrow N \otimes_{R} P(m \otimes p \mapsto f(m) \otimes p)$と定義する．

(1)$f$は全射 $\Rightarrow $ $f_{P}$は全射である．

特に，$\mathrm{Im}f_{P} \cong N \otimes_{R}P=\mathrm{Im}f \otimes_{R}P$である．

(2)$f$は単射 かつ $P$は平坦加群 $\Rightarrow $ $f_{P}$は単射．

特に, $\mathrm{Ker}f_{P} = \{0\} =\mathrm{Ker}f \otimes_{R}P$である．

$f$に単射や全射を課さずに$\otimes_{R}$と$\mathrm{Im},\mathrm{Ker}$を取る操作が可換になる例はあるか？

$R$を環とし，$M, N$を$R$加群，$F$を平坦加群とし，

$f \in \mathrm{Hom}_{R}(M,N)$を取る．

$f_{F}=f \otimes 1:M \otimes_{R}F \rightarrow N \otimes_{R} F(m \otimes x \mapsto f(m) \otimes x)$と定義する．

このとき，次が成り立つ．

(1)$\mathrm{Im}f_{P} \cong \mathrm{Im}f \otimes_{R}P$．

(2)$\mathrm{Ker}f_{P} \cong \mathrm{Ker}f \otimes_{R}P$．

$R$をとし, $M, N$を$R$加群, $f \in \mathrm{Hom}_{R}(M,N)$とする.

$f_{R_{S}}=f \otimes 1:M \otimes_{R}R_{S} \rightarrow N \otimes_{R} R_{S}(m \otimes a/s \mapsto f(m) \otimes a/s)$と定義する.

(1)$\mathrm{Im}f \otimes R_{S} \cong \mathrm{Im}f_{R_{S}} $

(2)$\mathrm{Ker}f \otimes_{R} R_{S} = \mathrm{Ker}f_{R_{S}}$

$f_{S}:M_{S}\rightarrow N_{S}(m/s \mapsto f(m)/s)$とする.