こんにちは！ケンけんです。今回は、代数系での完備化を知るために多項式環の特別な完備化を見ていきます。実際問題、完備化は有理数を実数にすることと手法としては似ていても実際にはかなり違うことに思えます。そのため、単純な「多項式環」を調べるわけです。
キーワード：環の完備化
この記事では、環はすべて単位的可換環とします。
環の完備化
メイントピックに早く進むために、大量の定義部分を少し駆け足で見ていきます。
$R$を環として, $I \subset R$をそのイデアルとする.
$(I^{n}):I \supset I \supset I^{2} \supset \cdots \supset I^{n} \supset \cdots$：$R$の$I$-フィルター
$\theta_{n+1}:R/I^{n+1} \rightarrow R/I^{n}(\overline{x} \mapsto \overline{x})$
（同じ$\overline{x}$でも異なる剰余環の元なので注意）
剰余環$R/I^{n}$とその間の準同型$\theta_{n+1}$の組$(R/I^{n}, \theta_{n})$を逆系と呼ぶ.
$\widehat{R}=\underset{\longleftarrow}{\lim}R/I^{n}$
$=\{(\overline{x_{m}}) \in \Pi_{i}R/I^{i}| \forall i(\theta_{i+1}(\overline{x_{i}})=\overline{x_{i}})\}$
$\widehat{R}$を$R$の完備化と呼ぶ.
正確には$\underset{\longleftarrow}{\lim}R/I^{n}$は逆系$(R/I^{n}, \theta_{n})$の逆極限($\rm{inverse \; limit}$)で次の$p_{m}$と一緒に考える.
$p_{m}:\underset{\longleftarrow}{\lim}R/I^{n} \rightarrow R/I^{m}((\overline{x_{n}}) \mapsto \overline{x_{m}})$（自然な射影）
本当はフィルターによって環$R$が位相になったり、連続写像だとかの議論が出てきますが今回はすべて無視！まずは、代数的にどうかを見ていこうと言うのが今回のスタンスです。
（そのうち必ず位相群・位相環・位相加群とその完備化の完全網羅記事を書きますよ、えぇ。）
ちなみに、今回考えるタイプの位相は$I$進位相と呼ばれ、きれいな構造をもっています。
多項式環と形式的べき級数環
それでは、多項式環$R[X]$を$I=(X)$による完備化を考えていきましょう。
- $\widehat{R[X]}=\underset{\longleftarrow}{\lim}R[X]/(X^{n})$の元は、剰余環の直積になっている,
- 第$n$成分は、$n-1$次の多項式となる,
- $\widehat{R[X]}$の元を考えると,
- 第一成分：$R[X]/(X)$の元$\overline{a_{0}}$.
- 第二成分：$R[X]/(X^{2})$の元$\overline{a_{0}+a_{1}X}$.
- 第$n$成分：$R[X]/(X^{n})$の元$\overline{\sum_{i=0}^{n-1}a_{i}X^{i}}$.
- これにより, $(\overline{\sum_{i=0}^{n-1}a_{i}X^{i}}) \in \underset{\longleftarrow}{\lim}R[X]/(X^{n})$.
多項式環$R[X]$とその不定元$X$で生成されるイデアル$I$にる完備化は、直積集合として不定元の次数が一つずつ増えるような多項式を代表元とする元が並んでいます。
では、今回の本題です。
$R[X]$を環$R$上の多項式環とし, $I=(X)$をそのイデアルとする.
このとき, $\widehat{R[X]} \cong R[[X]]$である.
$R[[X]]=\{\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}X^{n}|a_{n} \in R\}$は$R$の形式的べき級数環と呼ばれます.
$\phi:\widehat{R[X]} \rightarrow R[[X]]$を次のようにとる.
$\phi(\overline{\sum_{i=0}^{n-1}a_{i}X^{i}})=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}X^{n})$
well-definedについて
次の任意の$\widehat{R[X]}$を取る.
$A=(\overline{\sum_{i=0}^{n-1}a_{i}X^{i}})$,
$B=(\overline{\sum_{i=0}^{n-1}b_{i}X^{i}})$.
$A=B$を仮定すると, 各$n$で$\sum_{i=0}^{n-1}a_{i}X^{i}-\sum_{i=0}^{n-1}b_{i}X^{i} \in (X^{n})$.
これより, $\sum_{i=0}^{n-1}(a_{i}-b_{i})X^{i} =fX^{n}(f \in R[X])$と表せる.
しかし, 両辺の次数比較から$0$となる.
従って, 各$i$で$a_{i}-b_{i}=0$より$a_{i}=b_{i}$.
以上から, $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}X^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}X^{n}$であるため, $\phi$はwell-definedである.
また, この議論は逆も成り立つため自然に単射である.
次に全射について, 任意の$\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}X^{n} \in R[[X]]$に対して,
$\phi(\overline{\sum_{i=0}^{n-1}a_{i}X^{i}})=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}X^{n}$から成り立つ.
環準同型であることも多項式環と形式的べき級数環の加法・乗法からすぐに従う.
以上から, $\phi$は同型写像である.
$\square$
well-definedさえ示せれば、ほとんど同型は明らかになるちょっとした多項式環の利用でした。
完備化でどれだけ性質に差があるか？
今回位相を詳しくは考えないため、純粋な代数的にどれほど差が出ているのかを見ていきます。
まずは単元の存在です。
多項式環$R[X]$の場合
- 多項式環$R[X]$の単元$f=\sum_{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$とその逆元$g=\sum_{j=0}^{n}b_{i}X^{i}$を取る.
- $fg=\sum_{i,j}a_{i}b_{j}X^{i+j}=1$となる.
- 両辺の係数比較から, $a_{0}b_{0}=1, a_{i}b_{j}=0(i,j \neq 0)$がわかる.
- 従って, $R[X]$の単元は$R$の単元だけである.
形式的べき級数環$R[[X]]$の場合
- $f=1-2X \in R[[X]]$を取るとこれは単元になる.
- （多項式環の元は最高次以降の係数がすべて$0$として$R[[X]]$の元になる. ）
- 逆元は, $\sum_{n=0}^{\infty}2^{n}X^{n}$である.
- 数列の計算での一項ずらして和を取る操作と同じ手法
さらに、次の一般の命題が成り立ちます。
$$f はR[[X]]の単元 \iff fの定数項は単元$$
完備化した結果、単元が増えていることがわかります。
次に極大イデアルの差です。簡単のために、$R=k$(体)として考えます。
多項式環$k[X]$の場合
- 任意の$a \in k$で$(X-a) \subset k[X]$は極大イデアルである.
- 代入$F:k[X] \rightarrow k(X \mapsto a)$を定義.
- $F$は準同型写像となる.
- 任意の$r \in k$について$F(r)=r$なので全射である.
- $f \in \mathrm{Ker}F$は$X=a$を代入して0になることを意味する.
- 因数定理から$f=(X-a)g$を満たす$g \in R[X]$が存在する.
- 従って, $\mathrm{Ker}F \subset (X-a)$であり逆は明らか.
- 以上から準同型定理より, $k[X]/(X-a) \cong k$である.
- $k[X]/(X-a)$が体より, $(X-a)$は極大イデアル.
（発想自体は、以前記事にした手法と同様です。参考元）
このようにして、多項式環の極大イデアルは無数にあるとわかります。
形式的べき級数環$k[[X]]$の場合
- $k[[X]]$の極大イデアルは$(X)$のみである.（つまり局所環である.）
- $0 \neq I \subset R$をイデアルとして, $N=\min\{m|m:f \in Iの次数\}$とおく.
- $f \in I$は$m \geq N$として$f=\sum_{n=m}^{\infty}a_{n}X^{n}$と表される.
- 従って, $f \in (X^{N})$であるため, $I \subset (X^{N})$である.
- $f=\sum_{n=N}^{\infty}a_{n}X^{N} \in I$を考える.
- $f=X^{N}(\sum_{n=0}^{\infty}a_{N+n}X^{n})$の()内は$R[[X]]$の単元となる.
- 「$\sum_{n=0}^{\infty}a_{N+n}X^{N}$が単元」は要証明
- 従って, $X^{N} \in I$であるため$(X^{N}) \subset I$となる.
- 以上から, $I=(X^{N})$となる.（つまり, $k[[X]]$はPIDだと言えます.）
- 従って, $(X)$が極大イデアルでありただ一つである.
形式的べき級数環では、不定元だけですべてのイデアルが生成されるきれいさと極大イデアルが$(X)$のみの局所環であることで、多項式環との差が出ています。
おわりに
今回は、完備化の明確な目的や操作後でどのような変化が起きているのかを見比べえるため、単純な多項式環を採用しました。実際には、$R[X]$と$R[[X]]$の差を調べることになっていましたが完備化がたまたま既知のキレイな環だっただけなのでもっと他の例に触れる必要があると感じます。
以上、ケンけんでした。
