MOD-L-3：絶対に理解する　Hom関手 （その１）

$+, \cdot$は, 線形写像の$\rm{well \; defined}$からすぐに$\rm{well \; defined}$だとわかる.

従って,加群であることを確認する.

$f,g \in \mathrm{Hom}_{R}(M,N)$, $r,t \in R$を取る.

任意の$x \in M$に対して次のようになる.

$(r \cdot (f+g))(x)=rf(x)+rg(x)=(r \cdot f)(x)+(r \cdot g)(x)$

$((r+t) \cdot f)(x)=rf(x)+tf(x)=(r \cdot f)(x)+(t \cdot f)(x)$

$((rt) \cdot f)(x)=r(tf(x))=r((t \cdot f)(x))=(r \cdot (t \cdot f))(x)$

$(1_{R} \cdot f)(x)=1_{R} \cdot (f(x))=f(x)$

以上から, $r \cdot (f+g)=r \cdot f +r \cdot g$, $(r+t) \cdot f =r \cdot f+t \cdot f$,$(rt) \cdot f=r \cdot (t \cdot f)$, $1_{R} \cdot f=f$から$\mathrm{Hom}_{R}(M,N)$は$R$-加群である.

$\square$

1.　単純より1.1.のみ調べる.

$\rm{well \; defined}$は写像の合成から従う.

$\alpha, \beta \in \mathrm{Hom}_{R}(M,N)$と$r \in R$を取る.

任意の$x \in L$に対して, 次のようになる.

$f^{*}(\alpha + \beta)(x)=(\alpha + \beta)(f(x))=(f^{*}(\alpha)+f^{*}(\beta))(x)$,

$f^{*}(r \alpha)(x)=r \alpha (f(x))=r(\alpha(f(x)))=r f^{*}(\alpha)(x)$.

従って, $f^{*}(\alpha + \beta)=f^{*}(\alpha)+f^{*}(\beta), \; f^{*}(r \alpha)=r f^{*}(\alpha)$より$f^{*}$は$R$-線形写像である.

2.　$(\mathrm{id}_{M})^{*}=\mathrm{id}_{\mathrm{Hom}_{R}(M,N)}$を示す.

$h \in \mathrm{Hom}_{R}(M,N)$と任意の$x \in M$に対して次のようになる.

$(\mathrm{id}_{M})^{*}(h)(x)=h(\mathrm{id}_{M}(x))=h(x)$.

従って, $(\mathrm{id}_{M})^{*}(h)=h$より$\mathrm{id}_{M})^{*}(h)=\mathrm{id}_{\mathrm{Hom}_{R}(M,N)}$である.

$\square$

1.　任意の$R$-加群$P$と$h \in \mathrm{Hom}_{R}(N,P)$を取る.

このとき, 次のようにして1.が成り立つことが示される.

$(f^{*} \circ g^{*})(h)=f^{*}(g^{*}(h))=h \circ (g \circ f)=(g \circ f)^{*}(h)$.

2.　任意の$R$-加群$K$と$k \in \mathrm{Hom}_{R}(K,L)$を取る.

このとき, 次のようにして2.が成り立つことが示される.

$(g_{*} \circ f_{*})(k)=g_{*}(f_{*}(k))=(g \circ f) \circ k=(g \circ f)_{*}(k)$.

$\square$

1.　$f$が全射と仮定して任意の$R$-加群$P$と$\alpha \in \mathrm{Ker}f^{*}$を取る.

このとき, $f^{*}(\alpha)=\alpha \circ f=0$である.

$f$は全射より, $\alpha(N)=(\alpha \circ f)(M)=0(M)=\{0_{P}\}$である.

$\alpha=0$から$\mathrm{Ker}f^{*} \subset \{0\}$である.

逆の包含は明らかより, $f^{*}$は単射である.

逆に$f^{*}$を任意の$R$-加群$P$に対して単射であると仮定すると, $P=N/\mathrm{Im}f$としてもよい.

このとき, 自然な準同型$\pi :N \rightarrow P$について$f^{*}(\pi)=\pi \circ f=0$である.

従って,$\pi \in \mathrm{Ker}f^{*}=\{0\}$から$x \in N$に対して$\overline{x}=\pi(x)=0(x)=\overline{0}$である.

以上から, $x \in \mathrm{Im}f$となり$N \subset \mathrm{Im}f$である.

逆の包含は明らかより,$\mathrm{Im}f=N$から$f$は全射である.

2. 　$f$を単射と仮定して任意の$R$-加群$L$と$\alpha, \beta \in \mathrm{Hom}_{R}(L,M)$を取る.

$f_{*}(\alpha)=f_{*}(\beta)$を仮定すると, $x \in L$に対して$f_{*}(\alpha)(x)=f_{*}(\beta)(x)$である.

$f$の単射性から次のことが成り立つ.

$f(\alpha(x))=f_{*}(\alpha)(x)=f_{*}(\beta)(x)=f(\beta(x)) \Rightarrow \alpha(x)=\beta(x)$.

従って, $\alpha =\beta$より$f_{*}$は単射である.

逆に,任意の$R$加群$L$について$f_{*}$を単射と仮定すると, $L=\mathrm{Ker}f$としてもよい.

包含写像$i:\mathrm{Ker}f \rightarrow M$について$\mathrm{Im}i=\mathrm{Ker}f$より$f \circ i=0$である.

従って, $i \in \mathrm{Ker}f_{*}=\{0\}$より任意の$x \in \mathrm{Ker}f$について$x=i(x)=0(x)=0_{L}$となる.

以上から, $\mathrm{Ker}f=\{0_{L}\}$となり$f$は単射である.

$\square$