MOD-L-2：作用で零にならない加群　torsion-free module

$R$：環　$M$：$R$加群　$r \in R$

$\hat{r}:M \rightarrow M(x \mapsto rx)$：$R$線形写像

$M$はねじれ自由($\rm{torsion \; free}$) $\overset{def}{\iff} \forall r \in \mathrm{Reg}R(\hat{r};単射)$

$R$を環とし, $M$を$R$加群とする.　

$N,P$を$M$の部分加群として次のことが成り立つ.

1. $N,M/N:\rm{torsion \; free} \Rightarrow M:\rm{torsion \; free}$
2. $N,P:\rm{torsion \; free}$かつ$N \cap P=0 \Rightarrow N \oplus P :\rm{torsion \; free}$
3. $M:\rm{torsion \; free} \Rightarrow N:\rm{torsion \; free}$

1.

$m,n \in M$を取り, 任意の$r \in \mathrm{Reg}R$について$rm=rn$を仮定する.

このとき, $r(m-n)=0_{M} \in N$である.

よって, $r (\overline{m-n})=\overline{r(m-n)}=\overline{0_{M}}$.

$M/N$は$\rm{torsion \; free}$より$\hat{r}:M/N \to M/N$は単射である.

従って, $\overline{m-n}=\overline{0_{M}}$となり, $m-n \in N$である.

$r(m-n)=0_{M}$は$\hat{r}:N \to N$において$m-n \in \mathrm{Ker}(\hat{r})$.

$N$が$\rm{torsion \; free}$より, $m-n=0_{M}$となり$m=n$。

よって, $\hat{r}:M \to M$は単射であり$M$は$\rm{torsion \; free}$である.

2.

任意の$r \in \mathrm{Reg}R$を取り, $\hat{r}:N \oplus P \to N\oplus P$とする.

$\mathrm{Ker}(\hat{r})=\{0_{M}\}$を示せば十分.

任意の$m+n \in \mathrm{Ker}(\hat{r})$に対し, $r(m+n)=0_{M}$.

よって、$rm=r(-n) \in N \cap P$となる.

$N \cap P=0$より, $rm=r(-n)=0$である.

$N,P$が$\rm{torsion \; free}$より, $m=n=0$である.

以上から, $m+n=0_{M} \in \{0_{M}\}$である.

3.

任意の$r \in \mathrm{Reg}R$と$m,n \in N$を取り, $rm=rn$を仮定する.

$m,n \in M$として見ると, $\hat{r}:M \to M$は単射より$m=n$である.

従って, $\hat{r}:N \to N$としても単射であるため、$N$は$\rm{torsion \; free}$である.

$\square$

$R$：整域　$Q(R)$：商体

$Q(R)はR加群としてtorsion$-$freeである。$

任意の$r \in \mathrm{Reg}R$と$x/s ,y/t \in Q(R)$を取り, $r(x/s)=r(y/t)$を仮定する.

このとき, $r(x/s)=rx/s=ry/t=r(y/t)$である。

よって, ある$v \in \mathrm{Reg}R$で$v(t(rx)-s(ry))=0_{M}$が成り立つ.

$vr \in \mathrm{Reg}R$より「$vr(tx-sy)=0_{M} \Rightarrow x/s=y/t$」である.

以上から, $\hat{r}:Q(R) \rightarrow Q(R)$は単射より$Q(R)$は$R$加群として$\rm{torsion \; free}$である.

$\square$

$R$を環とし, $M$を$R$加群とする.　

1. $\forall S \subset R(S:\rm{積閉集合})(S^{-1}M:$\rm{torsion \; free}$)$
2. $S=\mathrm{Reg}R \Rightarrow S^{-1}M:\rm{torsion \; free}$

1.

任意の$r \in \mathrm{Reg}R$と$x/s,y/t \in S^{-1}M$を取り, $r(x/s)=r(y/t)$を仮定する.

このとき, ある$v \in S$で$v(rtx-rsy)=vr(rx-sy)=0_{M}$が成り立つ.

$vr \in \mathrm{Reg}R$より, $\widehat{vr}:M \rightarrow M$は単射である.

$rx-sy \in \mathrm{Ker}(\widehat{vr})=\{0_{M}\}$より$rx-sy=0_{M}$である.

よって, $x/s=y/t$から$\hat{r}:S^{-1}M \rightarrow S^{-1}M$も単射である.

以上より, $S^{-1}M$は$R$加群として$\rm{torsion \; free}$である.

2.

任意の$r \in \mathrm{Reg}R$と$x/s,y/t \in S^{-1}M$を取り,$r(x/s)=r(y/t)$を仮定する.

このとき, ある$v \in S$で$v(rtx-rsy)=vr(rx-sy)=0_{M}$が成り立つ.

$vr \in \mathrm{Reg}R =S$より$x/s=y/t$である.

従って,$\hat{r}:S^{-1}M \rightarrow S^{-1}M$は単射である.

以上より, $S^{-1}M$は$R$加群として$\rm{torsion \; free}$である.

$\square$

$k$を体とし, $R$をその部分環とする.

$k$は$R$加群としてtorsion-freeである.