こんにちは！ケンけんです。最近Matlis著の「One dimensional Cohen Macaulay Rings」を読んでいますが、その初めに「divisible」と「torsion-free」が出てきます。
私はあまり触れてこなかったためいろいろ試行錯誤しています。
今回はそんな加群の一種「divisible module」について学んだことをまとめていきます。
キーワード：divisible module
定義 divisible module
まずは、定義が必要です。
動機の本では、非零因子のことを正則元($regular element$)と呼んでいるのでそれに倣って環$R$の正則元全体の集合を次のように書きます。（一般的ではありません。）$$\mathrm{Reg}R=\{x \in R|x:非零因子\}$$
$R$：単位的可換環 $M$：$R$加群 $r \in R$
$\hat{r}:M \rightarrow M(x \mapsto rx)$：$R$線形写像
$M$は可除($divisible$) $\overset{def}{\iff} \forall r \in \mathrm{Reg}R(\hat{r};全射)$
つまり、すべての正則元で～倍写像を加群の作用によって定義したときに、それが全射であることを「可除」だと呼びます。すべての加群の元$x$が任意の正則元$r$によって$x=ry$とする加群の元$y$が存在することは、約数や倍数のように見えるため必ず割り切れると考えればイメージできます。
参考文献では、次のことが明らかであるとして説明されているので証明します。
$R$：単位的可換環 $L,M$：$R$加群 $i \in \mathbb{N}$
$N,N_{i} \subset M$：部分加群
- $M:divisible \Rightarrow \forall f \in \mathrm{Hom}(M,L)(\mathrm{Im}f:divisible)$
- $N,M/N:divisible$ $\Rightarrow$ $M:divisible$
- $\forall i \in \mathbb{N}(N_{i}:divisible) \Rightarrow \sum_{i \in \mathbb{N}}N_{i}:divisible$
1.
各$f \in \mathrm{Hom}(M,L)$について任意の$y \in \mathrm{Im}f$を取る。
このとき、ある$x \in M$で$y=f(x)$と書ける。
$M$がdivisibleより任意の$r \in \mathrm{Reg}R$についてある$x’ \in M$が存在して$$x=rx’=\hat{r}(x’)$$
従って、$y=f(x)=f(rx’)=r(f(x’))$より$\hat{r}:\mathrm{Im}f \rightarrow \mathrm{Im}f$は全射である。
よって、$\mathrm{Im}f$はdivisibleである。
2.
任意の$r \in \mathrm{Reg}R$について$\hat{r}:M \rightarrow M$が全射であることを示せば十分である。
$y \in M$を取ると、$y \in N$の時は$N$がdivisibleより明らか。
$y \notin N$の時は、$\overline{x} \neq \overline{0_{M}}$。
$M/N$がdivisibleより、ある$\overline{x} \in M/N$で$\overline{y}=r \overline{x}$と書ける。
$rx-y \in N$から、ある$n \in N$で$rx-y=rn$と書ける。
従って、$y=r(x+n)$となり$x+n \in M$より$\hat{r}$は全射である。
従って、$M$はdivisibleである。
3.
各$i \in \mathbb{N}$で$N_{i}$がdivisibleである。
従って、任意の$r \in \mathrm{Reg}R$と各$y_{i} \in N_{i}$についてある$x_{i} \in N_{i}$で$y_{i}=rx_{i}$と書ける。
従って、任意の$X=\sum_{i \in \mathbb{N}}y_{i} \in \sum_{i \in \mathbb{N}}N_{i}$について次のように書ける。$$X=r (\sum_{i \in \mathbb{N}}x_{i})$$
従って、$\hat{r}:\sum_{i \in \mathbb{N}}N_{i} \rightarrow \sum_{i \in \mathbb{N}}N_{i}$は全射より$\sum_{i \in \mathbb{N}}N_{i}$はdivisibleである。
$\square$
書籍では、「任意の$R$加群Mには、一意的な最大のdivisible submoduleが存在する。」として考えています。また、この最大のdivisibleな部分加群はすべてのdivisibleな部分加群を含むことも説明されています。
どこまで性質は保たれるか
今回の記事では、操作をどこまでしてもdivisibleであることが保たれるのかです。まずは、次の命題を考えました。
$R$：整域 $Q(R)$：商体
- $Q(R)はR加群としてdivisibleである。$
各$r \in \mathrm{Reg}R=R \backslash \{0_{R}\}$について、任意の$x/s \in Q(R)$は次のように書ける。$$x/s=rx/rs=r(x/rs)$$
$x/rs \in Q(R)$より$\hat{r}:Q(R) \rightarrow Q(R)$は全射である。
以上から、$Q(R)$は$R$加群としてdivisibleである。
$\square$
この命題は、商体から一般の体とその部分環へ拡張できます。
$k$：体 $R \subset k$：部分環（整域になる）
$kはR加群としてdivisibleである。$
各$r \in \mathrm{Reg}R=R \backslash \{0_{R}\}$について、任意の$y \in k$は次のように書ける。$$y=(rr^{-1})y=r(r^{-1}y)$$
$r^{-1} \in k$より、$\hat{r}:k \rightarrow k$は全射である。
以上から、$k$は$R$加群としてdivisibleである。
$\square$
局所化とイデアル商の場合
ここからは、局所化についてとイデアル商について考えます。
局所化の場合、命題2から次の命題が思いつきました。
$R$：単位的可換環 $M$：$R$加群
- $M:divisible\Rightarrow \forall S \subset R:積閉(S^{-1}M:divisible)$
- $S=\mathrm{Reg}R \Rightarrow S^{-1}M:divisible$
任意の$x/s \in S^{-1}M$を取る。
1.
$x \in M$より各$r \in \mathrm{Reg}R$に対してある$y \in M$が存在して$x=ry$と書ける。
従って、$x/s=ry/s=r(y/s)$となり$y/s \in S^{-1}M$である。
よって、$\hat{r}:S^{-1}M \rightarrow S^{-1}M$は全射となり$S^{-1}M$は$R$加群としてdivisibleである。
2.
$S=\mathrm{Reg}R$より、任意の$r \in \mathrm{Reg}R$について次のように変形できる。$$x/s=rx/rs=r(x/rs)$$
$x/rs \in S^{-1}M$より$\hat{r}:S^{-1}M \rightarrow S^{-1}M$は全射である。
以上から、$S^{-1}M$は$R$加群としてdivisibleである。
$\square$
イデアル商の場合、次の命題が気になります。
$R$：単位的可換環 $M$：$R$加群 $N \subset M$：部分加群
$S \subset R$：乗法の可換半群
- $(N:_{M}S)がdivisibleとなる条件は何か。$
この記号は以前の記事で取り上げました。これは部分加群となりました。
記号の確認をすると、次のようなものでした。$$(N:_{M} S)=\{x \in M|Sx \subset N\}$$
ですが、こちらはうまい条件が見つかりませんでした。なぜなら、$(N:_{M} S)$がdivisibleだとしても$N$について情報が出てこないからです。（少なくとも筆者は見つけられませんでした。）逆に、$N$がdivisibleだとしても$(N:_{M} S)$の元が$\hat{r}$について閉じているかがはっきりしないからうまくいきません。
おわりに
群論でも可除群($divisisble group$)というものがあるらしい。これは今回の加群から線形作用を抜いたものです。でも手元にある群論関係の書籍では、載っていないのでマイナーな概念なのかな。
またイデアル商系の話が解決できなかった。この対象意外と調べるのが難しいのかもしれない。
今回はdivisibleでしたが、次は「torsion-free」についても勉強したら記事にしたいですね。
以上、ケンけんでした。
参考文献
今回の動機となった書籍
Eben Matlis,1973,One Dimensional Cohen Macaulay Rings,Springer
