学習帳 RING-L-5：環のイデアル商を加群に拡張 加群のイデアル商
こんにちは！ケンけんです。 今回は、加群のイデアル商について見ていきます。 キーワード：加群のイデアル商 必要知識：環上の加群 加群のイデアル商 まずは、イデアル商を加群の場合に一般化します。 問題 $R$：単位的可換環 $M$：$R$-加...
2023-07
学習帳 学習帳 FIELD-L-3：添加された体 Q(√d)（その３）
こんにちは！ケンけんです。今回は、添加された体$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$が、ある剰余環との同型になることを考えます。 キーワード：剰余環との同型 必要知識：準同型定理 除法公理 今回示す事実は次のことです。 問題 $\ma...
素朴集合論（NST） NST-14：～～～ 同値関係
同値関係 述語で変数が2個以上の場合n-項関係と呼んでいました。この関係に集合を被せることで様々な性質を見て取ることができる。等号・不等号・四則演算等々。そんな関係に、等号のような情報を持ち込みます。それが、命題における言いかえである同値から集合について考える同値関係です。
素朴集合論（NST） NST-13：グラフもどき 直積集合
直積集合 縦と横に軸を取って、座標や複素平面上で曲線や面積（積分）などを考えることは解析学や幾何学では常套手段でした。では、この座標そのものを見ると2つの成分を持つ点の集合だったと見れます。直積集合はそんな座標平面などの一般化のようなものです。
素朴集合論（NST） NST-12：まるでコイントス？ べき集合
べき集合 コイントスの出目は確率で2分で1となり裏表の取り方で樹形図を書くとピラミッド型のようになります。この裏表を集合の元か否かで分けていくと最終的に元の集合のすべての部分集合が末端に並びます。この部分集合多値の集まりをべき集合と呼び、新しい集合の種類として定義します。
学習帳 RING-L-4：イデアル商についてのメモと課題
イデアル商 環論では、イデアルの割り算のような概念としてイデアル商は登場します。そして、準素イデアルについては特徴的な性質を持ちます。今回は、まず類似概念である素イデアルに拡張できることを示します。 また、そこから得られる課題をメモ代わりに書いていきます。
学習帳 FIELD-L-2：添加された体 Q(√d)（その2）
添加された体 以前、Q(√d)は{1,√d}を基底とするQベクトル空間であることをQ[√d]と一致することを集合の元の比較で示しました。これと別のアプローチとして添加された体は、分数多項式に代入した形で書き下すことができます。今回は、一つの元を添加したこの表記を考えます。また、その手法で前回の別証明を与えます。
素朴集合論（NST） NST-11：空っぽの集合 空集合
空集合は、元を持たない集合として定義されました。元を持たないことは、命題の「ならば」から説明でき、空集合を命題論理の言葉で明確に再定義します。この手法により、「空集合がすべての集合の部分集合」であることが説明できます。
学習帳 FIELD-L-1：添加された体 Q(√d)（その１）
添加された体でイメージしやすいものでQ(√d)があります。これは、{1,√d}を基底とするQ線形空間であり、複素数のようなa+b√dの形で書けるためきれいです。しかしこれは定義から明らかではなく、証明する必要があります。
学習帳 RING-L-3：次元0の整域はとても単純 次元0の整域
次元0の整域 Artin環と一般の整域は次元がそれぞれ0か1以上となります。この2つを同時に満たすArtin整域は体になることを今回は考えます。そして必要な情報「次元0」と「整域」に着目することで「次元0の整域」にまで話を一般化することができます。