代数基礎 BR1-6：平方根らしきイデアルと極小性 根基イデアル
根基イデアル 可換環の場合は、乗法の順序を無視できるので数と同様に元のべきを考えることができる。このべきによってイデアルの元となる集合は基本的に元のイデアルより大きな集合でかつイデアルとなる。そしてこの集合は、固定したイデアルを含む素イデアルの共通部分で表現できる。
代数基礎 
代数基礎 BR1-5’：いたるところで利用する minimal prime ideal
minimal prime ideal 極大の逆である極小性は、環の不変量や特定の元を取り除く手法を利用する際に重宝される。一般に共通部分や和集合は素イデアルではないが、包含関係が全順序の場合は素イデアルとなる。これを利用し極小素イデアルの存在を確認する。
代数基礎 BR1-5：イデアルの極大元 極大イデアル
極大イデアル 真のイデアルは全体集合が包含関係で整列集合となる。ここから、イデアルの極大元が存在する。このイデアルは特徴的な素イデアルで特殊化したい場合はよく利用される。今回は、Zornの補題から存在を示し極大イデアルならではの性質と議論を挙げていく。
代数基礎 BR1-4：環論の中心的存在 素イデアル
素イデアル 素数といえば、1と自分自身以外で割り切れない数でした。正の整数では、これによって有限個の素数の積で表示（素因数分解の一意性）ができます。これを集合であるイデアルへ拡張したものが素朴な素イデアルの特徴づけである。今回は単項イデアルから拡張して一般の場合を定義する。
学習帳 MOD-L-15：加群できれいな割り算を 加群の正則元
加群の正則元 環の正則元は乗法についてであり、加群の場合は作用に対応する。正則元は環以上に、加群の性質を記述する際によく取られ一個で剰余や局所化を行うこともある。また加群の商（またはcolon submodule）でも割り算の商と余りのような振る舞いをする。今回は、それを用いて正則元の特徴づけをする。
素朴集合論（NST） NST-28’：きれいな類別として 同値類の類別
同値類の類別 様々な個所で利用される同値類は類の一種である。ここについて、詳しく議論になることが少なく高度な数学ではさも当たり前のようであるが、実際に確認しようとすると同値関係による整理だからうまく類別の性質を満たしていることがわかる。今回は、その確認と商集合についての言いかえにも触れる。
学習帳 RING-L-15：イデアルのべきの言いかえ イデアル商
イデアル商 イデアルのべきで剰余加群を取る操作は、正則局所環を定義する線形空間の次元や随伴次数付き環Gr(R)のように時折用いられる。今回は、よく用いる任意のべきについての極大イデアルのケースを示した後に少し一般のイデアルで成立する例を考えていく。
学習帳 MOD-L-14：極大イデアルのべきで剰余加群を 剰余体
剰余体 イデアルのべきで剰余加群を取る操作は、随伴次数付き環Gr(R)の斉次部分を構成する。特に極大イデアルmの場合は局所化した環で再び随伴次数付き環Gr(R_{m})を考えると、斉次部分が元の斉次部分と同型を通して一致する。今回はこの加群の同型を考える。
学習帳 RING-L-19：結局は準素イデアルで説明 定義イデアル
定義イデアル ネーター半局所環の概念の一つとして現れる定義イデアル。これは、Jacobson根基によって定義されネーター環の極大イデアルを根基とする準素イデアルと類似する性質を持っていた。今回は、準素分解による属する素イデアルの集合によって定義イデアルに特徴づけを与える。
学習帳 RING-L-18：剰余環でアルチン環になる例 ネーター半局所環
ネーター半局所環 極大イデアルの個数については一個で局所環、有限個で半局所環となる。一般に局所環以外ではJacobson根基に有限個の共通部分といううれしい情報が加わる。今回は、ネーター半局所環の剰余環がアルチン環となる非自明な結果について取り扱う。