素朴集合論（NST） NST-24：全単射はラベル付け 等濃と可算
等濃と可算性 数えられない場合の解決から始まった命題論理と素朴集合論。その数えられる性質は、自然数全体の集合と全単射によって説明されることになる。モノの個数はこの意味で自然数によって説明される。また、自然数との間に全単射を持たない集合は数えられない集合となっていく。
ケンけん
素朴集合論（NST） 学習帳 RING-L-9：非零因子（正則元）の性質
こんにちはケンけんです。今回は環の正則元の演算の性質で閉じる閉じないを例を挙げつつ見ていきます。キーワード：非零因子（正則元）正則元一般には、非零因子（$\rm{non\; zero \; divisor}$）と呼ばれますが私は正則元（$\...
素朴集合論（NST） NST-23：全単射を緩めただけじゃない！ 単射・全射
単射・全射 全単射は単射かつ全射だ！とする場合が和書ではほとんどである。そのために単純な一対一対応のために多大なリソースを必要とする。しかし、全単射を先に取り上げた今単射と全射は全単射から一部情報を抜いたものだと理解できる。今回は、単射から全単射を抜き出す方法も取りあげる。
素朴集合論（NST） NST-22：写像で同値関係を 全単射
全単射 数え上げの基本は、「一対一対応」である。これは、算数の始めに数を考える際にリンゴやミカンの数の比較から始まっているため納得できる。写像の中でもこれは重要であり「全単射」と呼ばれる。さらには、全単射が存在すること自体が、普遍集合の上で同値関係を与える。
代数基礎 BR1-2：倍数全体はとてもきれい イデアル
イデアル 環の特徴的な部分集合イデアルは、整数の倍数全体として説明される。ベクトルと同様の演算を持つイデアルだが、部分構造を持つ部分環以上に重要な意味を持つ。また、倍数全体がイデアルであることから素因数分解とのつながりが見えてくる。そんなイデアルの定義と演算を考える。
素朴集合論（NST） NST-21：話を集合に落とす 可換図式
写像の一致 写像は特別な直積集合である。従って、２つの写像が同じかどうかは直積集合として一致しているかで説明できる。しかし、いちいち集合を持ち出しているとどうしても確認する上で煩雑になる。そこで、一般の写像の書き方で同値な述語を作りそれによって一致を考える。また、合成写像の一致の利用先として可換図式も取り上げる。
素朴集合論（NST） NST-20：対応を結ぶ 合成写像
こんにちは！ケンけんです。前回は、定義域の集合を部分集合にする写像の制限を扱いました。今回は、合成写像とそこから出てくる写像の一致を扱います。キーワード：合成写像導入イメージしやすい整数の倍々を考えます。4の倍数は、適当な整数を2回2倍する...
学習帳 RING-L-8：イデアル商のメモ（その2）
イデアル商 以前取り上げた素イデアルとイデアル商の同値についての課題。これは整数環による反例によってあっさりと矛盾することが示された。準素イデアルについても同様の手法で示される。 今回は、前回の課題の反例の説明と新しく剰余環とイデアル商を取る操作の可換性について考える。
学習帳 SET-L-1：Zornの補題の系
Zornの補題 極大元の存在を考えるときに用いるZornの補題。これの議論では、極大元が存在することで話が終わってしまうがより強力な情報として半順序集合のすべての元xについてx<=aとする極大元aが取れることも実が説明される。今回はこれを考えていく。
素朴集合論（NST） NST-19：対応を縛る 写像の制限
写像の制限 写像の議論では、直積数号の定義を使わない場合漠然と「こうできる」として定義され話が進む。しかし直積集合を利用すれば部分集合の観点からそれらの議論が命題論理の話にまで落とし込める。今回の写像の制限は定義域の部分集合と地域の集合の直積集合として特徴づけられる。