ケンけん

こんにちはケンけんです。前回は、ずっと言語化されなかった「数えられる」ことを可算として定義し、等濃によって可算か否かを分けることができるようになりました。今回は、当初目標としていた「ベルンシュタインの定理」を取り扱います。キーワード：ベルン...

集合の問題　２つ以上の集合の間には共通部分・和集合、また補集合も考えられる。それらが持つ性質は、論理積・論理和・命題の否定と同じ性質を持つ。従って、恒真命題も形を保ったまま集合でも成立する。この問題集ではそのような常に成り立つ集合の包含と一致を取り上げる。

等濃と可算性　数えられない場合の解決から始まった命題論理と素朴集合論。その数えられる性質は、自然数全体の集合と全単射によって説明されることになる。モノの個数はこの意味で自然数によって説明される。また、自然数との間に全単射を持たない集合は数えられない集合となっていく。

単射・全射　全単射は単射かつ全射だ！とする場合が和書ではほとんどである。そのために単純な一対一対応のために多大なリソースを必要とする。しかし、全単射を先に取り上げた今単射と全射は全単射から一部情報を抜いたものだと理解できる。今回は、単射から全単射を抜き出す方法も取りあげる。

全単射　数え上げの基本は、「一対一対応」である。これは、算数の始めに数を考える際にリンゴやミカンの数の比較から始まっているため納得できる。写像の中でもこれは重要であり「全単射」と呼ばれる。さらには、全単射が存在すること自体が、普遍集合の上で同値関係を与える。