2024-06

minimal prime ideal　極大の逆である極小性は、環の不変量や特定の元を取り除く手法を利用する際に重宝される。一般に共通部分や和集合は素イデアルではないが、包含関係が全順序の場合は素イデアルとなる。これを利用し極小素イデアルの存在を確認する。

極大イデアル　真のイデアルは全体集合が包含関係で整列集合となる。ここから、イデアルの極大元が存在する。このイデアルは特徴的な素イデアルで特殊化したい場合はよく利用される。今回は、Zornの補題から存在を示し極大イデアルならではの性質と議論を挙げていく。

素イデアル　素数といえば、1と自分自身以外で割り切れない数でした。正の整数では、これによって有限個の素数の積で表示（素因数分解の一意性）ができます。これを集合であるイデアルへ拡張したものが素朴な素イデアルの特徴づけである。今回は単項イデアルから拡張して一般の場合を定義する。

加群の正則元　環の正則元は乗法についてであり、加群の場合は作用に対応する。正則元は環以上に、加群の性質を記述する際によく取られ一個で剰余や局所化を行うこともある。また加群の商（またはcolon submodule）でも割り算の商と余りのような振る舞いをする。今回は、それを用いて正則元の特徴づけをする。