2024-03

テンソル積の像と核　テンソル積は実態がつかめない概念でよく挙がる。特にテンソル積同士の線形写像では零元になる条件が判別しずらいことに付随して核はっきりしないなどがあげられる。今回は、そんなテンソル積を線形写像をとおした像と核の性質をみて平坦性の一つの動機づけを考えてみる。

torsion module　torsion element全体であるT(M)は局所化の自然な写像の核と一致する。また、I進完備化についてもintersection Theoremから自然な写像が1+I=Sによる局所化の写像で核が一致する。今回はこれを使ってT(M)を別表現して特徴を考える。

Hom関手　定義域と値域の加群は同型を通して置き換えや操作が可換とみなせる。特に、環自身を加群とみなして定義域に取ることでHomは単純化される。また、()内の直和・直積をHom全体の直積に置き換えることもできる。これらを基本に自由加群を定義域とするHom(F,-)は完全関手となることを最後に示す。