素朴集合論（NST） NST-18：実はこいつも直積集合 写像
写像 2つの集合を対応させるものとした規則を写像と呼ぶ。しかし、対応だとか規則は定義していません。そこで別の切り口からも考えて対応と写像を命題論理と集合の道具を駆使して定義していきます。また、写像を作るときに気を付ける必要があるwell-definedであることについても触れます。
2023-08
素朴集合論（NST） 学習帳 MOD-L-2：作用で零にならない加群 torsion-free module
torsion-free module divisibleの双対概念として登場するtorison-free。これは、正則元によるr倍写像が単射準同型であることで定義される。全射から単射になることで簡単になることと少し制限されることの差が加群の演算により見える。今回も参考文献で自明とする命題と書かれていない命題を考える。
学習帳 MOD-L-1：divisible moduleのメモ
divisible module ～倍の写像が加群準同型写像（線形写像）となることになる。この写像の全射・単射によって特徴的な加群となる。今回のdivisibleは、その写像が全射（epimorphism）であるときに呼ばれる。この性質は部分加群や剰余加群などの様々な対象でも保存される。
素朴集合論（NST） NST-17：囲むやつら 上界下界
上界下界 数の大小関係では、0<x<1の場合だとこの中身の1/2などが興味の対象だった。しかし、この範囲の外にある数たち「x <=0」・「1<=x」を観察することで範囲内の数の情報が引き出すことができる。上界と下界はそんな範囲を大小で抑える数のことである。そして、その床下と天井が上限と下限である。
学習帳 RING-L-7：剰余環によるベクトル空間 多項式環
こんにちは！ケンけんです。今回は、多項式環の剰余環が有限次元ベクトル空間になることについて勉強したので書いていきます。後半は、多項式環での組成列を少し考えます。 キーワード：多項式環・剰余環 必要知識：多項式環の除法定理 多項式環 以前の学...
学習帳 RING-L-6：元の積をイデアルに拡張する イデアルの積
イデアルの積 イデアルの積は、元の積によって生成されるイデアルのことでした。これは、一つのイデアルだけで考えると数のべきのようなことができるが数での0<x<1での数のような振る舞いをする。これにより、自然とイデアルの降鎖が得られます。Artin環の条件などでべきが一致するケースもあります。
素朴集合論（NST） NST-16：最大最小だけじゃない 最大最小・極大極小
こんにちは！ケンけんです。前回は大小関係の一般化「順序関係」を定めました。 今回は、最大最小の一般化「最大限・最小限」と重要な情報「極大元・極小元」を考えます。 キーワード：最大最小・極大極小 導入 前回大小関係の中で、最大値・最小値が存在...
素朴集合論（NST） NST-15：大小関係の正体 順序関係
こんにちは！ケンけんです。前回は、等号の一般化である同値関係を取り上げました。 今回は、数の大小関係の正体である順序関係を取り扱います。 キーワード：順序関係 導入 スタートはやっぱり数の大小関係です。 例 NST-15-1 $\mathb...